Aufgabe B4 - Teilaufgabe b und c · Abitur NRW Mathematik GK · Haupttermin · CAS · Weiterbildungsk 2023

Aufgabenstellung:

Mitarbeitende eines Tourismusinstituts befragten repräsentativ 10 000 Personen einer Region, die im Jahr 2019 verreist waren.

Sämtliche folgenden Aussagen und Aufgaben betreffen diese Region.

Für jede Urlaubsreise füllten die Befragten einen Fragebogen aus, in dem unter anderem erfasst wurde, mit welchem Verkehrsmittel sie zu welchem Reiseziel gefahren waren.

Es zeigte sich: 26 % der Urlaubsreisen führten ins Inland (kurz: Inlandsreisen), wobei in 16 % dieser Fälle die Anreise mit der Bahn erfolgte. Bei den Urlaubsreisen ins Ausland (kurz: Auslandsreisen) wurde in 10 % der Fälle die Bahn zur Anreise genutzt.

Die genannten Prozentwerte sollen im Weiteren als Wahrscheinlichkeiten der jeweiligen Ereignisse gelten.

b) Die Befragung wird erweitert: Es werden 20 der Fragebögen zu den Urlaubsreisen zufällig herausgegriffen, damit mit den jeweiligen Befragten Interviews geführt werden können.

Die Zufallsgröße $X$ beschreibt, wie viele der 20 Urlaubsreisen Inlandsreisen sind.

(1)

Erläutern Sie, weshalb sich $P(X = k)$ für $0 \leq k \leq 20$ näherungsweise mithilfe einer Binomialverteilung berechnen lässt.

(2)

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter den 20 Urlaubsreisen mindestens sechs Inlandsreisen sind.

(3)

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Anzahl der Inlandsreisen unter den 20 Urlaubsreisen innerhalb der $2\sigma$-Umgebung um den Erwartungswert von $X$ liegt.

c) Bestimmen Sie die kleinste Anzahl an Fragebögen, die ausgewählt werden muss, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $99\,\%$ mindestens fünf dieser Fragebögen eine Auslandsreise angeben.