Aufgabe B5 - Integralrechnung · Abitur NRW Mathematik GK · Nachtermin · GTR · Weiterbildungsko 2023

Skoliose ist eine Erkrankung der Wirbelsäule, bei der diese nicht gerade verläuft, sondern einige Wirbel eine Krümmung bilden (siehe Abbildung 1). Auf Röntgenbildern ist diese Krümmung zu sehen. Anhand der Aufnahmen wird entschieden, wie die Behandlung fortgesetzt wird.

Ein Abschnitt der Wirbelsäule eines Skoliose-Patienten wird für $0 \le x \le 5$ durch die Funktion $f$ beschrieben mit

$$f(x) = 0{,}5 \cdot x^2 \cdot \mathrm{e}^{-1{,}2x + 1{,}2}, \quad x \in \mathbb{R}.$$

Eine Einheit im Koordinatensystem steht für einen Dezimeter (dm).

Der gerade Verlauf der Wirbelsäule einer gesunden Person wird durch die $x$-Achse dargestellt.

In Abbildung 2 sieht man das um $90^\circ$ gedrehte Röntgenbild der Wirbelsäule zusammen mit dem Graphen von $f$.

b) Für den größten Teil des Bereichs, in dem die Wirbelsäule seitlich verschoben ist, wird bei der Herstellung eines Korsetts ein spezielles Material eingesetzt. Die Fläche, auf der dieses spezielle Material zum Einsatz kommt, ist in Abbildung 4 schraffiert gekennzeichnet.

(1)

Berechnen Sie, in welchen Punkten die Tangenten $t_1$ bzw. $t_2$ die $x$-Achse schneiden.

$S_1($

$| 0)$

$S_2($

$| 0)$

(2)

Bestimmen Sie den Inhalt der Fläche, auf der das spezielle Material zum Einsatz kommt.