Aufgabe B1 - Differentialrechnung · Abitur NRW Mathematik LK · Nachtermin · GTR 2023

Aufgabenstellung

Die Funktion $f$ ist durch folgende Gleichung definiert:

$$f(x) = (x+0{,}5) \cdot (x-0{,}5) \cdot e^x, \quad x \in \mathbb{R}$$

Durch die folgende Gleichung wird eine Funktionenschar $g_a$ festgelegt:

$$g_a(x) = (x+a) \cdot (x-a) \cdot e^x = (x^2 - a^2) \cdot e^x, \quad x \in \mathbb{R}, \; a > 0$$ In Abbildung 1 ist der Graph der Funktion $g_1$ zu sehen.

Die Funktion $h$ wird durch die folgende Gleichung beschrieben:

$$h(x) = (x-1) \cdot x \cdot e^{x-0{,}5}, \quad x \in \mathbb{R}$$

Teilaufgabe a)

(1)

Der Graph von $f$ besitzt zwei lokale Extrempunkte. Bestimmen Sie die Koordinaten dieser Punkte.

$E_1($

$\mid$

$)$

$E_2($

$\mid$

$)$

(2)

Es gilt: $f''(x) = (x^2 + 4\cdot x + 1{,}75)\cdot e^x$.

Untersuchen Sie rechnerisch, an welchen Stellen die Funktion $f$ Wendestellen besitzt; Werte oder Zusammenhänge, die aus Funktionsgraphen abgelesen wurden, dürfen dabei nicht genutzt werden.

$x_{W1} =$

$,\quad x_{W2} =$

(3)

(i) Weisen Sie nach: $f'(x) = (x^2 + 2\cdot x - 0{,}25)\cdot e^x$.

(ii) Zeigen Sie rechnerisch: $t: y = -e^{-1{,}5}\cdot x + 0{,}5\cdot e^{-1{,}5}$ ist die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $(-1{,}5 \mid f(-1{,}5))$.

Teilaufgabe b)

(1)

Der Graph von $g_a$ hat an der Stelle $x_H$ einen Hochpunkt und an der Stelle $x_T$ einen Tiefpunkt. Es gilt: $x_H < x_T$.

Zeigen Sie, dass sämtliche Tiefpunkte der Graphen der Schar auf dem Graphen der Funktion $o$ mit $o(x) = -2\cdot x\cdot e^x$ liegen.

(2)

Die Punkte $P(-a \mid 0)$, $Q_z(z \mid g_a(z))$ und $R_z(z \mid 0)$ bilden für $-a < z < a$ das Dreieck $PQ_zR_z$.

(i) Begründen Sie, dass der Flächeninhalt $B_a$ des Dreiecks $PQ_zR_z$ in Abhängigkeit von $z$ durch die Gleichung

$$B_a(z) = -0{,}5\cdot (z+a)^2\cdot (z-a)\cdot e^z$$

berechnen lässt.

(ii) Bestimmen Sie für $a = 1$ den größtmöglichen Flächeninhalt des Dreiecks $PQ_zR_z$.

FE