Aufgabe MMS 2 - Aufgabe 1 - Funktionen und ihre Eigenscha… · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Analysis (CAS) 2023

Gegeben ist die Schar der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_a: x \mapsto e^x \cdot (x - a)^2$ mit $a \in \mathbb{R}$. Der Graph von $f_a$ wird mit $G_a$ bezeichnet. Jeder Graph der Schar hat genau einen Hochpunkt und genau einen Tiefpunkt. Die Abbildung 1 zeigt $G_{\frac{3}{2}}$.

Betrachtet werden die in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_{a,b}: x \mapsto e^x \cdot \left((x - a + b)^2 - b\right)$ mit $a, b \in \mathbb{R}$. Es gilt $f_{a,0}(x) = f_a(x)$. Der Graph von $f_{a,b}$ wird mit $G_{a,b}$ bezeichnet.

e)

Für positive Werte von b hat $\mathrm{G}_{a,b}$ zwei Schnittpunkte mit der x-Achse. Für jeden Wert von a wird der Abstand dieser beiden Schnittpunkte betrachtet. Zeigen Sie rechnerisch, dass dieser Abstand unabhängig von a ist.