Abitur NRW Mathematik 2023 · LK · Nachtermin · GTR

Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x) = \frac{1}{6}x^3 - 2x^2 + \frac{28}{3},\ x \in \mathbb{R}$.

(1)

Weisen Sie nach, dass $f$ an der Stelle $x = 0$ einen lokalen Hochpunkt seines Graphen besitzt.

(2)

Begründen Sie, dass der Punkt $P\left(\frac{4}{3} \Big| \frac{28}{3}\right)$ auf der Tangente liegt, die den Graphen von $f$ an der Stelle $x = 0$ berührt.

(3)

Der Graph von $f$ enthält den Punkt $Q(4 \mid -12)$. Zeigen Sie, dass die Gerade durch $P$ und $Q$ den Graphen von $f$ im Punkt $Q$ tangential berührt.

Gegeben ist eine Funktion $f$ mit $f(x) = -x^2 \cdot (x-k)$, $x \in \mathbb{R}$, $k \in \mathbb{R}$, $k > 0$.

(1)

Geben Sie in Abhängigkeit von $k$ die Nullstellen der Funktion $f$ an.

(2)

Bestimmen Sie denjenigen Wert von $k$, für den die Fläche zwischen dem Graphen von $f$ und der $x$-Achse den Inhalt $\frac{4}{3}\text{ FE}$ hat.

Die Funktion $f$ ist gegeben durch die Gleichung $f(x) = (x^2 + 4

e

(1)

Berechnen Sie die Nullstellen der Funktion $f$.

Die Funktion $f$ ist gegeben durch die Gleichung $f(x) = (x^2 + 4\ne

(2) Für $a, b, c \in \mathbb{R}$ ist die Funktion $F$ gegeben durch die Gleichung$$F(x) = (a\cdot x^2 + b\cdot x + c)\cdot e^x, \quad x \in \mathbb{R}.$$Berechnen Sie $F'(x)$ und ermitteln Sie durch einen Vergleich mit $f(x)$ die Gleichung einer Stammfunktion der Funktion $f$.

Betrachtet werden die Funktionen $f$ und $g$ mit$$f(x) = (2\cdot x - 1)\cdot e^{2\cdot x}, \quad x \in \mathbb{R},$$und$$g(x) = -x\cdot e^{2\cdot x}, \quad x \in \mathbb{R}.$$Abbildung 1 zeigt die Graphen beider Funktionen.

(1)

Weisen Sie rechnerisch nach, dass sich die beiden Funktionsgraphen ausschließlich an der Stelle $x = \frac{1}{3}$ schneiden.

Außerdem sei die Funktion $D$ mit $D(x) = \left(-\frac{3}{2}\cdot x + \frac{5}{4}\right)\cdot e^{2\cdot x}, \quad x \in \mathbb{R}$, vorgegeben.

(2)

Weisen Sie nach, dass $D$ eine Stammfunktion der Differenzfunktion $d$ mit $d(x) = g(x) - f(x)$ darstellt.

(3)

Berechnen Sie den Inhalt der in Abbildung 1 schraffierten Fläche.

e) Gegeben sind die Vektoren $\vec{u} = \begin{pmatrix} 0 \\ p \\ q \end{pmatrix}$ und $\vec{v} = \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ mit $p, q \in \mathbb{R}$.

(1)

Für bestimmte Werte von $p$ und $q$ bilden die Vektoren $\vec{u}$ und $\vec{v}$ die Seiten eines Rechtecks.

Geben Sie dafür ein passendes Wertepaar an.

(2)

Für bestimmte Werte von $p$ und $q$ ist das Rechteck, das von $\vec{u}$ und $\vec{v}$ aufgespannt wird, ein Quadrat.

Ermitteln Sie sämtliche Werte von $p$ und $q$, für die dies zutrifft.

Geben Sie die zwei Wertepaare $(p, q)$ als Lösung an:

Gegeben ist die Ebene $E: \vec{x} = \vec{u} + r \cdot \vec{v} + s \cdot \vec{w},\ r, s \in \mathbb{R}$.

Abbildung 2 zeigt einen Ausschnitt der Ebene $E$.

(1) (i)

Das in Abbildung 2 dargestellte Parallelogramm liegt in der Ebene $E$ und lässt sich beschreiben durch

$\vec{x} = \vec{u} + r \cdot \vec{v} + s \cdot \vec{w},\ a \le r \le b,\ c \le s \le d$,

Dabei sind $a, b, c$ und $d$ ganze Zahlen.

Geben Sie anhand von Abbildung 2 die Werte von $a, b, c$ und $d$ an.

(1) (ii)

Zeichnen Sie in Abbildung 2 diejenigen Punkte der Ebene $E$ ein, die entstehen, wenn für $r$ und $s$ alle Parameterwerte mit $r \ge 0,\ s \ge 0$ und $r + s = 1$ in die Parametergleichung von $E$ eingesetzt werden.

(2)

Es gilt: $E: \vec{x} = \begin{pmatrix} -6 \\ 7 \\ -8 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix},\ r, s \in \mathbb{R}$.

Ermitteln Sie für $E$ eine Gleichung in Normalenform.

e) Bei einer neuen Mandarinensorte hat eine zufällig gewählte Mandarine nur mit einer Wahrscheinlichkeit von $10\,\%$ Kerne. Die Zufallsgröße $X$ beschreibt die Anzahl der Mandarinen mit Kernen in einer Kiste mit $100$ Mandarinen.

(1)

Berechnen Sie sowohl den Erwartungswert als auch die Standardabweichung der Zufallsgröße $X$.

(2)

Geben Sie im Sachzusammenhang ein Ereignis an, dessen Wahrscheinlichkeit sich mit dem Term $\begin{pmatrix} 100 \\ 4 \end{pmatrix} \cdot 0{,}1^4 \cdot 0{,}9^{96}$ bestimmen lässt.

(3)

Begründen Sie mithilfe eines passenden Terms, dass es in einer Kiste mit $100$ Mandarinen nahezu sicher ist, dass mindestens eine Mandarine keine Kerne hat; die Wahrscheinlichkeit dafür ist also nahezu $1$.

f) Bei einem Schulfest gibt es an einer Würfelbude das folgende Spiel:

Nachdem man $0{,}50\text{ €}$ eingezahlt hat, wirft man einen gewöhnlichen Würfel dreimal. Für jede geworfene 6 werden $1\text{ €}$ ausgezahlt. Die Zufallsgröße $X$ beschreibt den ausgezahlten Betrag.

(1)

Geben Sie in der nachstehenden Tabelle die Wahrscheinlichkeiten $P(X = k)$ an:

$k$ · $0\text{ €}$ · $1\text{ €}$ · $2\text{ €}$ · $3\text{ €}$

$P(X = k)$

(2)

Ermitteln Sie den kleinsten Einsatz pro Spiel, bei dem die Betreiber der Würfelbude langfristig einen Gewinn erzielen.

€

Aufgabenstellung

Die Funktion $f$ ist durch folgende Gleichung definiert:

$$f(x) = (x+0{,}5) \cdot (x-0{,}5) \cdot e^x, \quad x \in \mathbb{R}$$

Durch die folgende Gleichung wird eine Funktionenschar $g_a$ festgelegt:

$$g_a(x) = (x+a) \cdot (x-a) \cdot e^x = (x^2 - a^2) \cdot e^x, \quad x \in \mathbb{R}, \; a > 0$$ In Abbildung 1 ist der Graph der Funktion $g_1$ zu sehen.

Die Funktion $h$ wird durch die folgende Gleichung beschrieben:

$$h(x) = (x-1) \cdot x \cdot e^{x-0{,}5}, \quad x \in \mathbb{R}$$

Teilaufgabe a)

(1)

Der Graph von $f$ besitzt zwei lokale Extrempunkte. Bestimmen Sie die Koordinaten dieser Punkte.

$E_1($

$\mid$

$)$

$E_2($

$\mid$

$)$

(2)

Es gilt: $f''(x) = (x^2 + 4\cdot x + 1{,}75)\cdot e^x$.

Untersuchen Sie rechnerisch, an welchen Stellen die Funktion $f$ Wendestellen besitzt; Werte oder Zusammenhänge, die aus Funktionsgraphen abgelesen wurden, dürfen dabei nicht genutzt werden.

$x_{W1} =$

$,\quad x_{W2} =$

(3)

(i) Weisen Sie nach: $f'(x) = (x^2 + 2\cdot x - 0{,}25)\cdot e^x$.

(ii) Zeigen Sie rechnerisch: $t: y = -e^{-1{,}5}\cdot x + 0{,}5\cdot e^{-1{,}5}$ ist die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $(-1{,}5 \mid f(-1{,}5))$.

Teilaufgabe b)

(1)

Der Graph von $g_a$ hat an der Stelle $x_H$ einen Hochpunkt und an der Stelle $x_T$ einen Tiefpunkt. Es gilt: $x_H < x_T$.

Zeigen Sie, dass sämtliche Tiefpunkte der Graphen der Schar auf dem Graphen der Funktion $o$ mit $o(x) = -2\cdot x\cdot e^x$ liegen.

(2)

Die Punkte $P(-a \mid 0)$, $Q_z(z \mid g_a(z))$ und $R_z(z \mid 0)$ bilden für $-a < z < a$ das Dreieck $PQ_zR_z$.

(i) Begründen Sie, dass der Flächeninhalt $B_a$ des Dreiecks $PQ_zR_z$ in Abhängigkeit von $z$ durch die Gleichung

$$B_a(z) = -0{,}5\cdot (z+a)^2\cdot (z-a)\cdot e^z$$

berechnen lässt.

(ii) Bestimmen Sie für $a = 1$ den größtmöglichen Flächeninhalt des Dreiecks $PQ_zR_z$.

FE

Aufgabenstellung

Die Funktion $f$ ist durch folgende Gleichung definiert:

$$f(x) = (x+0{,}5) \cdot (x-0{,}5) \cdot e^x, \quad x \in \mathbb{R}$$

Durch die folgende Gleichung wird eine Funktionenschar $g_a$ festgelegt:

$$g_a(x) = (x+a) \cdot (x-a) \cdot e^x = (x^2 - a^2) \cdot e^x, \quad x \in \mathbb{R}, \; a > 0$$ In Abbildung 1 ist der Graph der Funktion $g_1$ zu sehen.

Die Funktion $h$ wird durch die folgende Gleichung beschrieben:

$$h(x) = (x-1) \cdot x \cdot e^{x-0{,}5}, \quad x \in \mathbb{R}$$

Es gibt einen weiteren Punkt, in dem sich der Graph von $f$ und die Tangente $t$ schneiden.

(i)

Bestimmen Sie den Inhalt der Fläche $A$, die vom Graphen der Funktion $f$ und der Tangente $t$ begrenzt wird.

(ii)

Die Fläche $A$ reicht teilweise unter die $x$-Achse.

Bestimmen Sie, welchen prozentualen Anteil der Inhalt dieser Teilfläche am Inhalt der Fläche $A$ hat.

%

Aufgabenstellung

Die Funktion $f$ ist durch folgende Gleichung definiert:

$$f(x) = (x+0{,}5) \cdot (x-0{,}5) \cdot e^x, \quad x \in \mathbb{R}$$

Durch die folgende Gleichung wird eine Funktionenschar $g_a$ festgelegt:

$$g_a(x) = (x+a) \cdot (x-a) \cdot e^x = (x^2 - a^2) \cdot e^x, \quad x \in \mathbb{R}, \; a > 0$$ In Abbildung 1 ist der Graph der Funktion $g_1$ zu sehen.

Die Funktion $h$ wird durch die folgende Gleichung beschrieben:

$$h(x) = (x-1) \cdot x \cdot e^{x-0{,}5}, \quad x \in \mathbb{R}$$

c) Die Funktion $h$ ist durch die folgende Gleichung festgelegt:

$$h(x) = (x-1) \cdot x \cdot e^{x-0{,}5}, \quad x \in \mathbb{R}$$

(1)

Der Graph von $h$ geht durch eine Transformation aus dem Graphen der Funktion $f$ hervor. Geben Sie die Art dieser Transformation an.

(2)

Die Graphen von $g_1$ und $h$ haben den Schnittpunkt $S(1 \mid 0)$ sowie einen weiteren Schnittpunkt $T$. Bestimmen Sie die Koordinaten von $T$.

(3)

Der Graph von $f$ soll so transformiert werden, dass der entstehende Graph den Graphen von $g_1$ ebenfalls in $S(1 \mid 0)$ schneidet, jedoch nicht mit dem Graphen von $h$ übereinstimmt. Beschreiben Sie eine passende Transformation und geben Sie die zugehörige Funktionsgleichung an.

Aufgabenstellung:

In Abbildung 1 ist eine Holzliege zu sehen, deren geschwungene Liegefläche auf zwei Seitenteilen ruht. Für die Seitenteile wird Holz der Dicke $4\text{ cm}$ verwendet. Ein Volumen von $1\text{ cm}^3$ dieses Holzes besitzt die Masse $0{,}75\text{ g}$.

Abbildung 2 zeigt modellhaft den Längsschnitt eines Seitenteils dieser Liege. Dessen oberer Rand wird vom Graphen einer Funktion $g$ beschrieben, der untere Rand vom Graphen einer Funktion $h$.

In einem passenden Intervall werden der obere und der untere Rand durch die Graphen von $g$ und $h$ beschrieben. Dabei gilt:

$$g(x)=\frac{2}{3}x^3-3x^2+4x-\frac{7}{10}, \quad x \in \mathbb{R} \quad \text{und} \quad h(x)=0{,}06x^4-0{,}30x^2+0{,}38, \quad x \in \mathbb{R}.$$

Im Modell steht eine Längeneinheit für $40\text{ cm}$ in der Wirklichkeit.

In der Regel liegt eine Person so auf der Liege, dass im Längsschnitt betrachtet die Kniekehlen etwa in dem Punkt liegen, den im Modell der lokale Hochpunkt $H$ des Graphen von $g$ darstellt. Das Gesäß liegt dann etwa in dem Punkt, der im Modell dem lokalen Tiefpunkt $T$ des Graphen von $g$ entspricht (siehe Abbildung 2). Eine Liege ist bequem, wenn die Oberschenkellänge ungefähr dem Abstand dieser beiden Punkte entspricht (erste Bedingung). Zudem soll die Steigung zwischen diesen beiden Punkten Werte zwischen $-0,7$ und $0,7$ annehmen (zweite Bedingung).

Teilaufgabe a

a) (1)

Ermitteln Sie die Koordinaten des Hochpunkts und des Tiefpunkts des Graphen von $g$.

[Zur Kontrolle: Die Extremstellen liegen bei $x = 1$ und $x = 2$.]

$H($ $\mid$ $)$

$T($ $\mid$ $)$

a) (2)

Berechnen Sie die Entfernung zwischen Hochpunkt und Tiefpunkt.

a) (3)

Bestimmen Sie rechnerisch die Steigung des Graphen von $g$ an der Wendestelle, wobei keine am Graphen abgelesenen Werte oder Zusammenhänge verwendet werden dürfen.

a) (4)

Menschen mit $172\text{ cm}$ Körpergröße haben im Mittel eine Oberschenkellänge von $40\text{ cm}$.

Beurteilen Sie, ob die Liege für eine solche Person beide Bedingungen für eine bequeme Liege erfüllt.

Teilaufgabe b

Bei dem Versuch, die Form der Liege zu optimieren, wurde festgestellt, dass es besser ist, die Form der Liegefläche im Kopfbereich gerade zu gestalten. Deshalb wird nun für $x \geq 2{,}4$ der Graph der Funktion $g$ durch die Tangente $t$ an den Graphen von $g$ im Punkt $P(2{,}4 \mid g(2{,}4))$ ersetzt (siehe Abbildung 3).

b) (1)

Bestimmen Sie durch Rechnung eine Gleichung der Tangente $t$.

[Zur Kontrolle: $t: y = 1{,}12x - 1{,}852$.]

Teilaufgabe c

Die Hersteller möchten zukünftig auch Liegen anbieten, die individuell an die jeweilige Körpergröße angepasst sind. Sie benutzen zur Modellierung des oberen Randes des Seitenteils für geeignete $k > 0$ Funktionen $g_k$ mit$$g_k(x) = \frac{2}{3}k^2x^3 - 3kx^2 + 4x - \frac{7}{10k}, \quad x \in \mathbb{R}.$$

c) (1)

Bestimmen Sie rechnerisch die lokalen Extremstellen des Graphen von $g_k$ abhängig von $k$; die hinreichende Bedingung muss nicht überprüft werden.

[Zur Kontrolle und weiteren Verwendung: Der Hochpunkt des Graphen von $g_k$ hat die Koordinaten $H_k\left(\frac{1}{k} \;\middle|\; \frac{29}{30k}\right)$ und der Tiefpunkt die Koordinaten $T_k\left(\frac{2}{k} \;\middle|\; \frac{19}{30k}\right)$.]

c) (2)

Weisen Sie nach, dass der Abstand zwischen Hochpunkt und Tiefpunkt des Graphen von $g_k$ folgenden Wert hat:$$d_k = \frac{\sqrt{10}}{3k}.$$

c) (3)

Bestimmen Sie $k$ so, dass die Liegefläche, modelliert mit $g_k$, die erste Bedingung für eine bequeme Liege für ein zehnjähriges Kind mit $140\text{ cm}$ Körpergröße und einer Oberschenkellänge von ca. $30\text{ cm}$ erfüllt.

c) (4)

Erläutern Sie, wie die Werte von $k$ variiert werden müssen, um bei Modellierung der Liegefläche mit $g_k$ eine Liege für große bzw. kleine Menschen zu bekommen.

c) (5)

Zeigen Sie, dass die Steigung von $g_k$ an der Wendestelle nicht von $k$ abhängt und dass jede mit einer Funktion $g_k$ modellierte Liege die zweite Bedingung für bequeme Liegen erfüllt.

Aufgabenstellung:

In Abbildung 1 ist eine Holzliege zu sehen, deren geschwungene Liegefläche auf zwei Seitenteilen ruht. Für die Seitenteile wird Holz der Dicke $4\text{ cm}$ verwendet. Ein Volumen von $1\text{ cm}^3$ dieses Holzes besitzt die Masse $0{,}75\text{ g}$.

Abbildung 2 zeigt modellhaft den Längsschnitt eines Seitenteils dieser Liege. Dessen oberer Rand wird vom Graphen einer Funktion $g$ beschrieben, der untere Rand vom Graphen einer Funktion $h$.

In einem passenden Intervall werden der obere und der untere Rand durch die Graphen von $g$ und $h$ beschrieben. Dabei gilt:

$$g(x)=\frac{2}{3}x^3-3x^2+4x-\frac{7}{10}, \quad x \in \mathbb{R} \quad \text{und} \quad h(x)=0{,}06x^4-0{,}30x^2+0{,}38, \quad x \in \mathbb{R}.$$

Im Modell steht eine Längeneinheit für $40\text{ cm}$ in der Wirklichkeit.

Bei dem Versuch, die Liegenform zu optimieren, zeigte sich, dass es günstiger ist, die Liegefläche im Kopfbereich gerade zu gestalten. Deshalb wird nun für $x \geq 2{,}4$ der Graph der Funktion $g$ durch die Tangente $t$ an den Graphen von $g$ im Punkt $P(2{,}4 \mid g(2{,}4))$ ersetzt (siehe Abbildung 3).

[Aus Teilaufgabe b(1) ist bekannt: $t: y = 1{,}12x - 1{,}852$]

b) (2)

Ermitteln Sie den Flächeninhalt des schraffierten Bereichs (siehe Abbildung 3) und geben Sie dabei die dafür notwendigen Integrale an.

[Zur Kontrolle: Der Inhalt der schraffierten Fläche beträgt ungefähr $1{,}25\text{ FE}$.]

Linke Schnittstelle (Schnitt von $g$ und $h$ bei $x < 1$): $x_1 \approx$

Rechte Schnittstelle (Schnitt von $t$ und $h$ bei $x > 2$): $x_2 \approx$

$A \approx$

FE

b) (3)

Berechnen Sie, welche Masse ein Seitenteil der optimierten Liege hat.

Abbildung 1 zeigt einen Pyramidenstumpf. Das Koordinatensystem wurde so festgelegt, dass die quadratische Grundfläche $A_1A_2A_3A_4$ in der $x_1$-$x_2$-Ebene liegt, während sich die quadratische Deckfläche in einer zur $x_1$-$x_2$-Ebene parallelen Ebene auf der Höhe $10$ befindet. Zudem geht die $x_3$-Achse durch die Diagonalenschnittpunkte dieser beiden Quadrate. Die Seitenlänge der quadratischen Deckfläche beträgt $4$.

Es gilt $A_1(4 \mid 4 \mid 0)$, $A_2(-4 \mid 4 \mid 0)$, $A_4(4 \mid -4 \mid 0)$ und $D(2 \mid 2 \mid 10)$.

Abbildung 2 zeigt einen Körper, der entsteht, wenn man die Deckfläche um $90^\circ$ um die $x_3$-Achse dreht und die Grundfläche $A_1A_2A_3A_4$ dabei unverändert lässt. In Abbildung 3 ist dieser Körper von oben zu sehen. Für den in den Abbildungen 2 und 3 gezeigten Körper, auf den sich die folgenden Aufgaben beziehen, gilt:

$A_1(4 \mid 4 \mid 0)$, $A_2(-4 \mid 4 \mid 0)$, $A_4(4 \mid -4 \mid 0)$,

$B_1(-2 \mid 2 \mid 10)$, $B_2(-2 \mid -2 \mid 10)$, $B_3(2 \mid -2 \mid 10)$, $B_4(2 \mid 2 \mid 10)$.

b) (1)

Die Punkte $A_1$, $A_2$ und $B_1$ liegen in der Ebene $E$.

(i)

Ermitteln Sie für die Ebene $E$ eine Gleichung in Koordinatenform.

(ii)

Untersuchen Sie durch Rechnung, ob $B_2$ ein Punkt der Ebene $E$ ist.

c) (1)

Die Kante $\overline{A_3B_3}$ verläuft auf der Geraden $A_3B_3: \vec{x} = \begin{pmatrix} -4 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \\ 10 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R}$, und die Kante $\overline{A_4B_4}$ auf der Geraden $A_4B_4: \vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 6 \\ 10 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R}$.

Weisen Sie durch Rechnung nach, dass $A_3B_3$ und $A_4B_4$ zueinander windschief sind.

d) (1)

Der Punkt $H_1$ liegt auf der Kante $\overline{A_1B_1}$ und befindet sich in der Höhe $h$, $0 < h \le 10$.

Weisen Sie nach: $H_1\left(4 - \frac{6}{10}\cdot h \;\Big|\; 4 - \frac{2}{10}\cdot h \;\Big|\; h\right)$.

Abbildung 1 zeigt einen Pyramidenstumpf. Das Koordinatensystem wurde so festgelegt, dass die quadratische Grundfläche $A_1A_2A_3A_4$ in der $x_1$-$x_2$-Ebene liegt, während sich die quadratische Deckfläche in einer zur $x_1$-$x_2$-Ebene parallelen Ebene auf der Höhe $10$ befindet. Zudem geht die $x_3$-Achse durch die Diagonalenschnittpunkte dieser beiden Quadrate. Die Seitenlänge der quadratischen Deckfläche beträgt $4$.

Es gilt $A_1(4 \mid 4 \mid 0)$, $A_2(-4 \mid 4 \mid 0)$, $A_4(4 \mid -4 \mid 0)$ und $D(2 \mid 2 \mid 10)$.

Abbildung 2 zeigt einen Körper, der entsteht, wenn man die Deckfläche um $90^\circ$ um die $x_3$-Achse dreht und die Grundfläche $A_1A_2A_3A_4$ dabei unverändert lässt. In Abbildung 3 ist dieser Körper von oben zu sehen. Für den in den Abbildungen 2 und 3 gezeigten Körper, auf den sich die folgenden Aufgaben beziehen, gilt:

$A_1(4 \mid 4 \mid 0)$, $A_2(-4 \mid 4 \mid 0)$, $A_4(4 \mid -4 \mid 0)$,

$B_1(-2 \mid 2 \mid 10)$, $B_2(-2 \mid -2 \mid 10)$, $B_3(2 \mid -2 \mid 10)$, $B_4(2 \mid 2 \mid 10)$.

Teilaufgabe a

(1)

Geben Sie die Koordinaten des Punktes $A_3$ an.

(2)

Berechnen Sie, welches Volumen der Pyramidenstumpf hat.

(3)

Berechnen Sie den Flächeninhalt $F_S$ der quadratischen Fläche $S$, in der der Pyramidenstumpf von der zur $x_1$-$x_2$-Ebene parallelen Ebene in der Höhe 5 geschnitten wird.

Teilaufgabe b (2)

(2)

Berechnen Sie die Größe des Winkels, den die Kante $\overline{A_1B_1}$ mit der Grundfläche $A_1A_2A_3A_4$ des Körpers einschließt.

Teilaufgabe c (2)

Zu den Geraden $A_3B_3$ und $A_4B_4$ liegt die folgende Berechnung vor, die nur teilweise dokumentiert ist:

$$\text{(I) } \vec{OP} = \begin{pmatrix} -4 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \\ 10 \end{pmatrix}, \quad \vec{OQ} = \begin{pmatrix} 4 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 6 \\ 10 \end{pmatrix}, \quad r,s \in \mathbb{R}.$$

$$\text{(II) } \vec{PQ} = \vec{OQ} - \vec{OP} = \dots$$

$$\text{(III) } \begin{vmatrix} \vec{PQ} \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \\ 10 \end{pmatrix} = 0 \\ \vec{PQ} \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 6 \\ 10 \end{pmatrix} = 0 \end{vmatrix} \iff \begin{vmatrix} r = \dots \\ s = \dots \end{vmatrix}.$$

$$\text{(IV) Einsetzen von } r = \dots \text{ und } s = \dots \text{ in } \vec{PQ} \text{ liefert den Vektor } \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 4 \\ 8 \\ -4 \end{pmatrix}.$$

$$\text{(V) } \left| \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 4 \\ 8 \\ -4 \end{pmatrix} \right| = \frac{4\cdot \sqrt{6}}{3} \approx 3{,}27.$$

(i)

Bestimmen Sie $r$ und $s$ mithilfe von (I), (II) und (III).

(ii)

Interpretieren Sie den Wert $\frac{4\cdot\sqrt{6}}{3}$ geometrisch.

Teilaufgabe d (2)-(4)

(2)

Zeigen Sie: Für das Quadrat $H_1H_2H_3H_4$ in der Höhe $h$ gilt für den Flächeninhalt $F(h)$ die Beziehung $F(h) = \frac{4}{5}\cdot h^2 - \frac{64}{5}\cdot h + 64$.

(3)

Ermitteln Sie diejenige Höhe $h$, für die das Quadrat $H_1H_2H_3H_4$ den kleinsten Flächeninhalt hat.

(4)

In einer bestimmten Höhe $h$ gilt $\alpha = 45^\circ$. Ermitteln Sie diese Höhe $h$.

Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln

Aufgabenstellung:

Mit Gesichtserkennungssystemen lassen sich Personen auf Fotos, in Videos oder live identifizieren. Das System gleicht dazu bestimmte Gesichtsmerkmale mit bereits gespeicherten Fotos ab. Ist die Ähnlichkeit ausreichend hoch, bewertet das System zwei Gesichter als dieselbe Person.

Eine Gesichtserkennungssoftware wird anhand von Aufnahmen freiwilliger Teilnehmender getestet. Von einem Teil dieser Personen liegen Fotos in einer Datenbank vor; sie heißen im Folgenden Zielpersonen. Teilnehmende, deren Fotos nicht in der Datenbank abgelegt sind, bezeichnet man als Kontrollpersonen.

Während einer Testphase vergleicht die Software Videos einzelner Personen, also von Zielpersonen und von Kontrollpersonen, mit den Fotos der Datenbank.

a) Während dieser Testphase erkennt die Software eine Zielperson in einem Video mit einer Wahrscheinlichkeit von 80 % korrekt als Zielperson. Diese Wahrscheinlichkeit heißt im Folgenden Trefferwahrscheinlichkeit.

Eine Kontrollperson wird mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,1 % irrtümlich als Zielperson klassifiziert.

10 % der in der Testphase eingesetzten Videos zeigen Zielpersonen.

(1)

Erstellen Sie für die beschriebene Situation ein zweistufiges Baumdiagramm mit Beschriftung.

(2)

(i)

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Software die Person in einem zufällig gewählten Video als Zielperson einstuft.

(ii)

Die Software stuft die Person in einem zufällig gewählten Video als Zielperson ein.

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass es sich bei dieser Person in Wirklichkeit um eine Kontrollperson handelt.

Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln

Aufgabenstellung:

Mit Gesichtserkennungssystemen lassen sich Personen auf Fotos, in Videos oder live identifizieren. Das System gleicht dazu bestimmte Gesichtsmerkmale mit bereits gespeicherten Fotos ab. Ist die Ähnlichkeit ausreichend hoch, bewertet das System zwei Gesichter als dieselbe Person.

Eine Gesichtserkennungssoftware wird anhand von Aufnahmen freiwilliger Teilnehmender getestet. Von einem Teil dieser Personen liegen Fotos in einer Datenbank vor; sie heißen im Folgenden Zielpersonen. Teilnehmende, deren Fotos nicht in der Datenbank abgelegt sind, bezeichnet man als Kontrollpersonen.

Während einer Testphase vergleicht die Software Videos einzelner Personen, also von Zielpersonen und von Kontrollpersonen, mit den Fotos der Datenbank.

b)

Für eine Werbebroschüre will die Softwarefirma Aussagen über die Qualität ihrer Gesichtserkennungssoftware sammeln. Hierfür sind Wahrscheinlichkeiten bestimmter Ereignisse erforderlich. Unter anderem wird angenommen, dass wie in der Testphase die Trefferwahrscheinlichkeit 80 % beträgt.

(1)

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit für das nachstehende Ereignis:

Von 50 zufällig ausgewählten Videos von Zielpersonen stuft die Software in mehr als 40 Videos die gezeigte Person richtig als Zielperson ein.

(2)

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei 100 zufällig ausgewählten Videos von Zielpersonen die Zahl der Videos mit richtiger Einstufung der gezeigten Person als Zielperson höchstens 1,5 Standardabweichungen vom Erwartungswert entfernt liegt.

(3)

Bestimmen Sie die kleinste Anzahl zufällig ausgewählter Videos von Zielpersonen, die mit der Datenbank abgeglichen werden müssen, damit mit mindestens 95 % Wahrscheinlichkeit in mindestens zehn dieser Videos die gezeigte Person richtig als Zielperson erkannt wird.

c)

Eine binomialverteilte Zufallsgröße $X$ mit den Parametern $n = 100$ und $p = 0{,}8$ hat den Erwartungswert $\mu = 80$ und die Standardabweichung $\sigma = 4$.

In der folgenden Abbildung ist ein Ausschnitt aus dem Histogramm der Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$ dargestellt. Darüber hinaus ist auch der Graph der Dichtefunktion $\varphi_{80;4}$ der Normalverteilung mit $\mu = 80$ und $\sigma = 4$ abgebildet.

Mithilfe der Dichtefunktion $\varphi_{80;4}$ lassen sich Wahrscheinlichkeiten der Zufallsgröße $X$ abschätzen.

Näherungsweise lässt sich die Wahrscheinlichkeit $P_{100;0{,}8}(74 \le X \le 86)$ durch$$\int_{73{,}5}^{86{,}5} \varphi_{80;4}(k)\,\mathrm{d}k$$berechnen.

Erklären Sie mithilfe der Abbildung, warum diese Integrationsgrenzen gewählt werden.

e)

Ermitteln Sie die minimale Trefferwahrscheinlichkeit einer Gesichtserkennungssoftware, angegeben in Prozent ohne Nachkommastelle, sodass mit mindestens 95 % Wahrscheinlichkeit bei 100 zufällig ausgewählten Videos von Zielpersonen in mindestens 90 Videos die gezeigte Person richtig als Zielperson erkannt wird.

%

Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln

Aufgabenstellung:

Mit Gesichtserkennungssystemen lassen sich Personen auf Fotos, in Videos oder live identifizieren. Das System gleicht dazu bestimmte Gesichtsmerkmale mit bereits gespeicherten Fotos ab. Ist die Ähnlichkeit ausreichend hoch, bewertet das System zwei Gesichter als dieselbe Person.

Eine Gesichtserkennungssoftware wird anhand von Aufnahmen freiwilliger Teilnehmender getestet. Von einem Teil dieser Personen liegen Fotos in einer Datenbank vor; sie heißen im Folgenden Zielpersonen. Teilnehmende, deren Fotos nicht in der Datenbank abgelegt sind, bezeichnet man als Kontrollpersonen.

Während einer Testphase vergleicht die Software Videos einzelner Personen, also von Zielpersonen und von Kontrollpersonen, mit den Fotos der Datenbank.

d) Auch ein weiterer Hersteller vertreibt eine Gesichtserkennungssoftware. Nach dessen Angabe liegt die Trefferwahrscheinlichkeit dieser Software bei $90\,\%$.

Eine Sicherheitsingenieurin möchte die Angabe des Herstellers mithilfe eines Hypothesentests auf dem Signifikanzniveau $10\,\%$ überprüfen. Sie will dabei möglichst ausschließen, dem Hersteller fälschlich vorzuwerfen, die Trefferwahrscheinlichkeit liege unter dem angegebenen Wert, obwohl sie tatsächlich mindestens $90\,\%$ beträgt.

(1)

Entscheiden Sie begründet, ob sich die Sicherheitsingenieurin für die Nullhypothese $H_0: p < 0{,}9$ oder die Nullhypothese $H_0: p \ge 0{,}9$ entscheiden sollte. [2 Punkte]

$H_0: p \ge 0{,}9$

$H_0: p < 0{,}9$

(2)

Zur Überprüfung ihrer Nullhypothese lässt die Sicherheitsingenieurin $200$ zufällig ausgewählte Videos von Zielpersonen durch die Software überprüfen.

Bestimmen Sie für den beschriebenen Hypothesentest eine Entscheidungsregel. [3 Punkte]

Videos

Aufgabenstellung:

Skoliose ist eine Erkrankung der Wirbelsäule, bei der diese nicht gerade verläuft, sondern ein Teil der Wirbel eine Krümmung bildet (siehe Abbildung 1). Auf Röntgenaufnahmen lässt sich diese Krümmung erkennen und anhand der Aufnahmen wird über die weitere Behandlung entschieden.

Ein Abschnitt der Wirbelsäule eines Skoliose-Patienten wird für $-2 \le x \le 2$ durch die Funktion $f$ beschrieben mit

$$f(x) = 0{,}8 \cdot \mathrm{e}^{-x^2},\; x \in \mathbb{R}.$$ Eine Einheit im Koordinatensystem steht für einen Dezimeter (dm).

Die $x$-Achse stellt den geraden Verlauf der Wirbelsäule einer gesunden Person ohne Skoliose dar.

Abbildung 2 zeigt das um $90^\circ$ gedrehte Röntgenbild der Wirbelsäule zusammen mit dem Graphen von $f$:

a)

(1) Zeigen Sie: $f'(x) = -1{,}6x \cdot \mathrm{e}^{-x^2}$.

Bestimmen Sie auf rechnerischem Weg die Koordinaten des Hochpunkts am Graphen von $f$.

Deuten Sie die $y$-Koordinate des Hochpunkts bezogen auf den Sachkontext.

(2) (i) Zeigen Sie durch eine Rechnung, dass der Graph von $f$ symmetrisch bezüglich der $y$-Achse verläuft.

Der Punkt $W_1\left(-\frac{1}{\sqrt{2}} \;\middle|\; f\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\right)$ ist der Wendepunkt des Graphen von $f$ im II. Quadranten.

(ii) Zeigen Sie, dass die Gerade $t_1$ mit $t_1: y = 0{,}8 \cdot \sqrt{2} \cdot \mathrm{e}^{-0{,}5} \cdot x + 1{,}6 \cdot \mathrm{e}^{-0{,}5}$ die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $W_1$ ist.

(iii) Geben Sie den zweiten Wendepunkt $W_2$ und eine Gleichung der Tangente $t_2$ an den Graphen von $f$ im Punkt $W_2$ an.

Um über weitere Behandlungsschritte zu entscheiden, wird der Winkel $\alpha$ zwischen den beiden Wendetangenten $t_1$ und $t_2$ bestimmt, der sogenannte Cobb-Winkel (siehe Abbildung 3).

Cobb-Winkel von mehr als $70^\circ$ können als Nebenwirkung zu Kurzatmigkeit führen. Laut einer Studie ist bei einem Cobb-Winkel von kleiner als $70^\circ$ nicht von einer Beeinträchtigung der Atemwege auszugehen.

(3) Der Cobb-Winkel kann mit der Formel

$$\alpha = \sphericalangle(t_1, t_2) = \tan^{-1}\left(\frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 \cdot m_2}\right)$$

aus den Steigungen $m_1$ bzw. $m_2$ der Wendetangenten $t_1$ bzw. $t_2$ berechnet werden.

Berechnen Sie den Cobb-Winkel und beurteilen Sie, ob bei dieser Skoliose von einer Beeinträchtigung der Atemwege auszugehen ist.

^\circ

c)

Für einige weitere Skoliose-Patienten konnte der Verlauf der Wirbelsäule durch eine Funktion $h_k$ mit

$$h_k(x) = 0{,}8 \cdot \mathrm{e}^{-k \cdot x^2}, \quad k > 0, \; x \in \mathbb{R}$$

beschrieben werden.

In einem vereinfachten Ansatz zur Analyse der Skoliose soll die maximale Steigung des Graphen der Funktion $h_k$ betrachtet werden. Diese liegt an der Stelle $x_W = -\frac{1}{\sqrt{2k}}$ vor.

Wenn die maximale Steigung größer ist als $0{,}84$, ist ein besonderes Therapieprogramm erforderlich.

(1) Berechnen Sie $h_k'(x)$ und bestimmen Sie die maximale Steigung des Graphen von $h_k$ abhängig von $k$.

(2) Ermitteln Sie, für welche Werte von $k > 0$ die maximale Steigung größer ist als $0{,}84$.

d)

Ein Arzt überlegt, nicht den Cobb-Winkel zwischen den Tangenten in den Wendepunkten zu verwenden, sondern stattdessen den Winkel zwischen den Tangenten an den äußeren Kanten der Wirbel, auf denen die Wendepunkte liegen.

Das bedeutet: Statt der Tangente im Punkt $W_1$ wird die Tangente im Punkt $P_1$ verwendet, der weiter links auf dem Graphen von $f$ liegt. Ebenso wird statt der Tangente im Punkt $W_2$ die Tangente im Punkt $P_2$ verwendet, der weiter rechts auf dem Graphen von $f$ liegt (siehe Abbildung 6).

Beurteilen Sie ohne zusätzliche Rechnung, ob diese Änderung zu einem größeren oder einem kleineren Winkelwert führt.

Aufgabenstellung:

Skoliose ist eine Erkrankung der Wirbelsäule, bei der diese nicht gerade verläuft, sondern ein Teil der Wirbel eine Krümmung bildet (siehe Abbildung 1). Auf Röntgenaufnahmen lässt sich diese Krümmung erkennen und anhand der Aufnahmen wird über die weitere Behandlung entschieden.

Ein Abschnitt der Wirbelsäule eines Skoliose-Patienten wird für $-2 \le x \le 2$ durch die Funktion $f$ beschrieben mit

$$f(x) = 0{,}8 \cdot \mathrm{e}^{-x^2},\; x \in \mathbb{R}.$$ Eine Einheit im Koordinatensystem steht für einen Dezimeter (dm).

Die $x$-Achse stellt den geraden Verlauf der Wirbelsäule einer gesunden Person ohne Skoliose dar.

Abbildung 2 zeigt das um $90^\circ$ gedrehte Röntgenbild der Wirbelsäule zusammen mit dem Graphen von $f$:

b) Skoliosen können unter anderem mit einem Korsett behandelt werden. Bei dessen Herstellung kommt für den größten Teil des Bereichs, in dem die Wirbelsäule seitlich verschoben ist, ein spezielles Material zum Einsatz. Die Fläche, auf der dieses spezielle Material eingesetzt wird, ist in Abbildung 4 schraffiert eingezeichnet.

Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Bereichs, auf dem das spezielle Material eingesetzt wird.