Aufgabe B1 - Integralrechnung · Abitur NRW Mathematik LK · Haupttermin · CAS · Weiterbildungsk 2023

Aufgabenstellung:

Betrachtet wird die Funktion $f$ mit der Gleichung

$$f(x) = (x^3 - 5) \cdot \mathrm{e}^x, \quad x \in \mathbb{R}.$$

Abbildung 1 zeigt den Graphen von $f$.

Betrachtet wird die Schar der auf $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_k$ mit der Funktionsgleichung

$$f_k(x) = (x^3 + k) \cdot \mathrm{e}^x \quad \text{mit } k \in \mathbb{R}.$$

Die Funktion $f_{-5}$ ist identisch mit der Funktion $f$.

b) Integralrechnung und Flächenberechnungen

(1)

Der Graph der Funktion $f$ und die $x$-Achse begrenzen im 3. und 4. Quadranten eine nach links unbegrenzt ausgedehnte Fläche, deren Inhalt endlich ist. In Abbildung 2 ist diese Fläche schraffiert eingezeichnet.

(i)

Bestimmen Sie den Flächeninhalt dieser Fläche; runden Sie auf drei Nachkommastellen.

(ii)

Durch die $y$-Achse wird diese Fläche in zwei Teilflächen zerlegt. Ermitteln Sie, in welchem Verhältnis die Inhalte dieser Teilflächen zueinander stehen.

(2)

Die Gleichung $\int_{0}^{z} f(x)\,\mathrm{d}x = 0$ besitzt für $z \neq 0$ genau eine Lösung. Bestimmen Sie diese und interpretieren Sie sie geometrisch.

(3)

Die Punkte $O(0|0)$, $N(-5|0)$ und $Y(0|-5)$ legen das Dreieck $ONY$ fest. Der Graph von $f$ liegt zum Teil im Inneren dieses Dreiecks und umschließt zusammen mit der Seite $\overline{NY}$ eine Fläche $A$.

(i)

Zeichnen Sie die Fläche $A$ in Abbildung 3 ein. [ Hinweis: Abbildung 3 entspricht Abbildung 1. ]

(ii)

Bestimmen Sie den Inhalt der Fläche $A$.