Aufgabe c · Abitur NRW Mathematik GK · Haupttermin · GTR · Weiterbildungsk 2023

(1) Zeigen Sie: $f'(x) = x \cdot (x + 2) \cdot e^x$.

Lösung: Mit Produktregel gilt: $$f'(x) = 2x \cdot e^x + x^2 \cdot e^x = (2x + x^2) \cdot e^x = x \cdot (x + 2) \cdot e^x.$$

(2) Lokale Maximalstelle von $f$:

Lösung: $x = -2$

(2) Lokale Minimalstelle von $f$:

Lösung: $x = 0$

(2) Begründung / Nachweis der Art der Extremstellen:

Lösung: Notwendige Bedingung für Extremstellen: $$f'(x) = 0 \Leftrightarrow x \cdot (x + 2) \cdot e^x = 0 \Leftrightarrow x = -2 \lor x = 0.$$ Da zusätzlich $f'(-3) = 3 \cdot e^{-3} > 0$, $f'(-1) = -e^{-1} < 0$ und $f'(1) = 3 \cdot e > 0$ gilt, liegt an der Stelle $x = -2$ ein Vorzeichenwechsel von positiven zu negativen Funktionswerten von $f'$ vor. $x = -2$ ist also eine lokale Maximalstelle von $f$. An der Stelle $x = 0$ liegt ein Vorzeichenwechsel von negativen zu positiven Funktionswerten von $f'$ vor. $x = 0$ ist also eine lokale Minimalstelle von $f$.