Aufgabe B3 - Längen, Figuren und Abstände im Raum · Abitur NRW Mathematik LK · Haupttermin · CAS · Weiterbildungsk 2023

Der Körper $K$ aus Abbildung 1 besitzt die Eckpunkte $A_1, A_2, A_3, A_4, B_1, B_2, B_3$ und $B_4$ und weist die folgenden Merkmale auf:

$A_1A_2A_3A_4$ ist ein Rechteck, das in der $x_1x_2$-Ebene liegt, und $B_1B_2B_3B_4$ ist ein Rechteck in einer Ebene parallel zur $x_1x_2$-Ebene. Die Vierecke $A_2A_3B_3B_2$ und $A_1A_4B_4B_1$ befinden sich jeweils in Ebenen parallel zur $x_1x_3$-Ebene.

Die Koordinaten von sechs Eckpunkten lauten:

$A_1(50|-5|0)$

$A_2(50|5|0)$

$A_3\left(\frac{\sqrt{75}}{3}\middle|5\middle|0\right)$

$A_4\left(\frac{\sqrt{75}}{3}\middle|-5\middle|0\right)$

$B_2(10|5|30)$

$B_3\left(\frac{\sqrt{75}}{3}\middle|5\middle|30\right)$

Ein Architekturbüro nutzt den Körper $K$ in einem mathematischen Modell für die Planung eines neuen Hotels mit zehn gleich hohen Stockwerken. Die Hotelzimmer, die an die Schrägen grenzen, sollen in der 1. bis 9. Etage Balkone erhalten. Abbildung 2 zeigt beispielhaft den Boden des Balkons der 3. Etage.

Im Modell steht eine Längeneinheit für einen Meter in der Wirklichkeit.

Das Hotel besteht aus drei gleich geformten Gebäuden. Gebäude I wird durch den Körper $K$ modelliert; die Gebäude II und III entstehen aus Gebäude I durch je eine Drehung um $120^\circ$ (siehe Abbildung 4). Die drei Gebäude grenzen so aneinander, dass ein dreieckiger Innenhof entsteht, der im Modell in der $x_1x_2$-Ebene liegt.

In Abbildung 5 ist das Hotelmodell in der Draufsicht zu sehen:

a)

(1) Geben Sie die Koordinaten von $B_1$ an.

(2) Begründen Sie, dass es sich bei der Seitenfläche $A_2A_3B_3B_2$ um ein Trapez handelt, und berechnen Sie das Volumen des Körpers $K$.

Das Hotel besteht aus drei Gebäuden gleicher Form. Gebäude I wird durch den Körper $K$ dargestellt; Gebäude II und III entstehen aus Gebäude I durch jeweils eine Drehung um $120^\circ$ (siehe Abbildung 4). Die drei Gebäude schließen so aneinander an, dass sie einen dreieckigen Innenhof umschließen. Im Modell liegt dieser Innenhof in der $x_1x_2$-Ebene.

Abbildung 5 stellt das Hotelmodell in der Ansicht von oben dar.

c)

Der Innenhof $A_4A_3P$ ist ein gleichseitiges Dreieck.

(1) Ermitteln Sie die Koordinaten von $P$ rechnerisch.

[Zur Kontrolle: $P\left(-\frac{2\cdot \sqrt{75}}{3}\middle|0\middle|0\right) \approx P(-5{,}77|0|0)$]

(2) Berechnen Sie die Entfernung zwischen $A_4$ und dem Koordinatenursprung $O(0|0|0)$.