Teilaufgabe d · Abitur NRW Mathematik LK · Nachtermin · CAS 2023

Gegeben sind die Funktionen $f$ und $g$ mit$$f(x) = (2\cdot x - 1)\cdot e^{2x}, \; x \in \mathbb{R},$$und$$g(x) = -x\cdot e^{2x}, \; x \in \mathbb{R}.$$Die Graphen der beiden Funktionen sind in Abbildung 1 dargestellt.

(1)

Weisen Sie rechnerisch nach, dass die beiden Funktionsgraphen sich nur an der Stelle $x = \frac{1}{3}$ schneiden.

$x =$

Außerdem ist die Funktion $D$ mit $D(x) = \left(-\frac{3}{2}\cdot x + \frac{5}{4}\right)\cdot e^{2x}, \; x \in \mathbb{R}$, vorgegeben.

(2)

Weisen Sie nach, dass $D$ eine Stammfunktion zur Differenzfunktion $d$ mit $d(x) = g(x) - f(x)$ darstellt.

$D'(x) =$

(3)

Berechnen Sie den Inhalt der in Abbildung 1 schraffierten Fläche.

$A =$