Abitur NRW Mathematik 2023 · LK · Haupttermin · CAS · Weiterbildungskolleg

Betrachtet werden die Funktionen $f$ und $g$ mit

$$f(x) = \frac{1}{2}x^3 - 3x^2 + \frac{3}{2}x + 5, \quad x \in \mathbb{R},$$

und

$$g(x) = -3x + 5, \quad x \in \mathbb{R}.$$

(1)

Berechnen Sie diejenigen Stellen, an denen sich die Graphen von $f$ und $g$ schneiden bzw. berühren.

(2)

Unter diesen gemeinsamen Punkten befindet sich $P(3 \mid f(3))$.

Zeigen Sie: Im Punkt $P$ tangiert der Graph von $g$ den Graphen von $f$.

Gegeben ist die auf ganz $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit der Funktionsgleichung $f(x)=\mathrm{e}^{\left(x^2\right)}$.

(1)

Geben Sie die Wertemenge von $f$ an.

[Die Wertemenge von $f$ umfasst alle Zahlen, die als Funktionswerte von $f$ auftreten.]

Gegeben ist die auf ganz $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit der Funktionsgleichung $f(x)=\mathrm{e}^{\left(x^2\right)}$.

(2)

Die erste Ableitungsfunktion $f'$ von $f$ erfüllt $f'(x) = 2x \cdot f(x)$.

Die Graphen von $f$ und $f'$ haben genau einen gemeinsamen Schnittpunkt.

Bestimmen Sie, welche Steigung der Graph von $f$ in diesem Schnittpunkt hat.

c) Gegeben ist eine auf $\mathbb{R}$ definierte ganzrationale Funktion $f$, die nicht linear ist, mit der ersten Ableitungsfunktion $f'$ und der zweiten Ableitungsfunktion $f''$. Sie besitzt die folgenden Eigenschaften:

Die Funktion $f$ hat an der Stelle $x_1$ eine Nullstelle.

Es gilt $f'(x_2) = 0$ und $f''(x_2) \neq 0$.

Die Funktion $f'$ nimmt an der Stelle $x_3$ ein Minimum an.

In Abbildung 1 sind die Lagen von $x_1$, $x_2$ und $x_3$ dargestellt.

(1)

Begründen Sie, warum $f$ mindestens den Grad 3 haben muss.

(2)

Skizzieren Sie in Abbildung 1 einen denkbaren Verlauf des Graphen von $f$.

d) Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f: x \mapsto -x^2 + 2ax$ mit $a \in \mathbb{R}$, $a > 1$. Die Nullstellen von $f$ sind $0$ und $2a$.

(1)

Zeigen Sie, dass die Fläche zwischen dem Graphen von $f$ und der $x$-Achse den Inhalt $\frac{4}{3}a^3$ besitzt.

(2)

Der Hochpunkt des Graphen von $f$ befindet sich auf einer Seite eines Quadrats, von dem zwei Seiten auf den Koordinatenachsen liegen (vgl. Abbildung 2).

Das Quadrat hat denselben Flächeninhalt wie das Flächenstück zwischen dem Graphen von $f$ und der $x$-Achse.

Betrachtet wird die Gerade $g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}$ mit $\lambda \in \mathbb{R}$.

(1)

Zeigen Sie, dass die Gerade $g$ vollständig in der Ebene mit der Gleichung $x + y + z = 2$ verläuft.

(2)

Zusätzlich ist die Geradenschar $h_a: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ a \\ 0 \end{pmatrix}$ mit $\mu \in \mathbb{R}$ und $a \in \mathbb{R}$ gegeben.

Weisen Sie nach, dass die Geraden $g$ und $h_a$ unabhängig vom Wert von $a$ stets windschief zueinander sind.

(1)

Betrachtet wird das folgende Gleichungssystem

$\begin{aligned}

\text{I}\quad & 2x + z = 0 \\

\text{II}\quad & -2y + 4z = 0 \\

\text{III}\quad & 2y - 5z = 1

\end{aligned}$

mit $x, y, z \in \mathbb{R}$.

Berechnen Sie, welche Lösung das Gleichungssystem hat.

(2)

Es gibt einen Wert von $r$ mit $r \in \mathbb{R}$, für den das Gleichungssystem

$\begin{aligned}

\text{I}\quad & 2x + z = 0 \\

\text{II}\quad & -2y + 4z = 0 \\

\text{III}\quad & 2y - r\cdot z = 1

\end{aligned}$

mit $x, y, z \in \mathbb{R}$ keine Lösung besitzt.

Ermitteln Sie diesen Wert.

Aufgabenstellung:

Betrachtet wird die Funktion $f$ mit der Gleichung

$$f(x) = (x^3 - 5) \cdot \mathrm{e}^x, \quad x \in \mathbb{R}.$$

Abbildung 1 zeigt den Graphen von $f$.

Betrachtet wird die Schar der auf $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_k$ mit der Funktionsgleichung

$$f_k(x) = (x^3 + k) \cdot \mathrm{e}^x \quad \text{mit } k \in \mathbb{R}.$$

Die Funktion $f_{-5}$ ist identisch mit der Funktion $f$.

Teilaufgabe a)

a) (1)

Berechnen Sie die Tangentengleichung für den Graphen von $f$ im Punkt $P(-1|f(-1))$; Werte oder Zusammenhänge, die aus Funktionsgraphen abgelesen wurden, dürfen dabei nicht benutzt werden.

a) (2)

Der Graph von $f$ hat genau eine Extremstelle und drei Wendestellen. Berechnen Sie die Wendestellen von $f$ und runden Sie auf drei Nachkommastellen.

a) (3)

Für $z>0$ ist $P_z(z|f(z))$ ein Punkt auf dem Graphen von $f$. Er bildet zusammen mit dem Koordinatenursprung $O(0|0)$ und dem Punkt $Q_z(z|0)$ ein Dreieck $OP_zQ_z$. Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks $OP_zQ_z$, wenn für $P_z$ der Tiefpunkt des Graphen von $f$ gewählt wird.

Teilaufgabe c)

Gegeben ist die Schar der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_k$ durch die Funktionsgleichung $$f_k(x) = (x^3+k)\cdot e^x \text{ mit } k \in \mathbb{R}.$$ Die Funktion $f_{-5}$ stimmt mit der Funktion $f$ überein. Die folgende Abbildung 4 zeigt drei Graphen der Schar $G_I, G_{II}, G_{III}$ für drei verschiedene Parameter $k_I, k_{II}, k_{III}$.

c) (1)

Geben Sie die Parameter an, die zu den Graphen gehören.

c) (2)

Begründen Sie, dass jede Scharfunktion $f_k$ genau eine Nullstelle besitzt.

Für die Ableitungsfunktion $f_k'$ gilt: $$f_k'(x) = (x^3+3x^2+k)\cdot e^x, \ x \in \mathbb{R}; k \in \mathbb{R}.$$

c) (3)(i)

Wie die Anzahl der Extremstellen von $f_k$ vom Parameter $k$ abhängt, soll untersucht werden, indem die Funktion $h_k$ mit $h_k(x)=x^3+3x^2+k$ auf Nullstellen betrachtet wird. Abbildung 5 zeigt den Graphen von $h_0$ (also $k=0$). Geben Sie mithilfe von Abbildung 5 an, wie viele Nullstellen $h_k$ je nach Parameter $k$ hat. (Die Nullstellen sollen nicht mit dem Taschenrechner berechnet werden.)

c) (3)(ii)

Begründen Sie, dass die folgenden drei Aussagen richtig sind:

Aufgabenstellung:

Betrachtet wird die Funktion $f$ mit der Gleichung

$$f(x) = (x^3 - 5) \cdot \mathrm{e}^x, \quad x \in \mathbb{R}.$$

Abbildung 1 zeigt den Graphen von $f$.

Betrachtet wird die Schar der auf $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_k$ mit der Funktionsgleichung

$$f_k(x) = (x^3 + k) \cdot \mathrm{e}^x \quad \text{mit } k \in \mathbb{R}.$$

Die Funktion $f_{-5}$ ist identisch mit der Funktion $f$.

b) Integralrechnung und Flächenberechnungen

(1)

Der Graph der Funktion $f$ und die $x$-Achse begrenzen im 3. und 4. Quadranten eine nach links unbegrenzt ausgedehnte Fläche, deren Inhalt endlich ist. In Abbildung 2 ist diese Fläche schraffiert eingezeichnet.

(i)

Bestimmen Sie den Flächeninhalt dieser Fläche; runden Sie auf drei Nachkommastellen.

(ii)

Durch die $y$-Achse wird diese Fläche in zwei Teilflächen zerlegt. Ermitteln Sie, in welchem Verhältnis die Inhalte dieser Teilflächen zueinander stehen.

(2)

Die Gleichung $\int_{0}^{z} f(x)\,\mathrm{d}x = 0$ besitzt für $z \neq 0$ genau eine Lösung. Bestimmen Sie diese und interpretieren Sie sie geometrisch.

(3)

Die Punkte $O(0|0)$, $N(-5|0)$ und $Y(0|-5)$ legen das Dreieck $ONY$ fest. Der Graph von $f$ liegt zum Teil im Inneren dieses Dreiecks und umschließt zusammen mit der Seite $\overline{NY}$ eine Fläche $A$.

(i)

Zeichnen Sie die Fläche $A$ in Abbildung 3 ein. [ Hinweis: Abbildung 3 entspricht Abbildung 1. ]

(ii)

Bestimmen Sie den Inhalt der Fläche $A$.

Aufgabenstellung:

Betrachtet wird die Funktion $f$ mit der Gleichung

$$f(x) = (x^3 - 5) \cdot \mathrm{e}^x, \quad x \in \mathbb{R}.$$

Abbildung 1 zeigt den Graphen von $f$.

Betrachtet wird die Schar der auf $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_k$ mit der Funktionsgleichung

$$f_k(x) = (x^3 + k) \cdot \mathrm{e}^x \quad \text{mit } k \in \mathbb{R}.$$

Die Funktion $f_{-5}$ ist identisch mit der Funktion $f$.

c) Betrachtet wird die Funktionenschar $f_k$ mit Definitionsbereich $\mathbb{R}$ und der Gleichung

$$f_k(x) = (x^3 + k) \cdot \mathrm{e}^x \quad \text{mit } k \in \mathbb{R}.$$

Die Funktion $f_{-5}$ ist identisch mit der Funktion $f$.

In Abbildung 4 sind drei Graphen $G_I, G_{II}, G_{III}$ der Schar dargestellt, die zu drei verschiedenen Parametern $k_I, k_{II}, k_{III}$ gehören.

(1)

Geben Sie an, welche Parameter zu den Graphen gehören.

(2)

Begründen Sie, dass jede Funktion $f_k$ dieser Schar genau eine Nullstelle besitzt.

Aufgabenstellung: Modellierung eines Staus an einer Autobahnbaustelle

An einer Autobahnbaustelle bildet sich am Morgen oft ein Stau.

An einem bestimmten Tag beginnt der Stau um 06:00 Uhr und ist um 10:00 Uhr völlig aufgelöst. Die momentane Änderungsrate der Staulänge lässt sich für diesen Tag vom Beginn bis zum Ende des Staus durch die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit

$$f(x) = x \cdot (8 - 5x) \cdot \left(1 - \frac{x}{4}\right)^2$$ darstellen. Dabei steht $x$ für die seit 06:00 Uhr verstrichene Zeit in Stunden und $f(x)$ für die momentane Änderungsrate der Staulänge in Kilometer pro Stunde.

Neben $f$ spielt im Sachzusammenhang auch die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $s$ mit

$$s(x) = \left(\frac{x}{4}\right)^2 \cdot (4 - x)^3$$ eine Rolle.

Außerdem wird die Funktionenschar $l_{a;b}$ betrachtet, deren Funktionen in $\mathbb{R}$ definiert sind, mit

$$l_{a;b}(x) = 16 \cdot \frac{a}{b} \cdot x^2 \cdot \left(1 - \frac{x}{b}\right)^3 \quad \text{und } a, b \in \mathbb{R},\ a > 0,\ b > 0.$$ Eine Verkehrszentrale beobachtet den Autobahnverkehr der Region. Ihre Computersysteme empfangen fortlaufend Sensor- und Kameradaten, die eine Software auswertet.

Die Software beschreibt Staulängen durch die Funktionen $l_{a;b}$. Dabei bezeichnet $x$ mit $0 \leq x \leq b$ die seit der Entstehung des Staus vergangene Zeit in Stunden und $l_{a;b}(x)$ die Staulänge in Kilometer.

Aufgabenteil a)

(1)

Nennen Sie alle Zeitpunkte, an denen die momentane Änderungsrate der Staulänge null beträgt, und begründen Sie mithilfe des Aufbaus des Funktionsterms von $f$, dass keine weiteren derartigen Zeitpunkte existieren.

(2)

Es ist $f(2) < 0$. Geben Sie an, was dies im Sachzusammenhang bedeutet.

(3)

Bestimmen Sie den Zeitpunkt der stärksten Zunahme der Staulänge und zeigen Sie, dass die momentane Änderungsrate zu diesem Zeitpunkt einen Wert zwischen $2\,\frac{\text{km}}{\text{h}}$ und $3\,\frac{\text{km}}{\text{h}}$ hat.

(4)

Geben Sie an, wann der Stau seine größte Länge erreicht, und begründen Sie diese Angabe.

Aufgabenteil b)

(1)

Bestimmen Sie in Abhängigkeit von $b$ die lokalen Extremstellen von $l_{a;b}$ sowie deren Art.

(2)

Bei passend gewählten Parametern $a_s$ und $b_s$ stimmt die Funktion $l_{a_s;b_s}$ mit der Funktion $s$ (aus Aufgabenteil a)) überein. Bestimmen Sie $a_s$ und $b_s$.

(3)

Ein Display zeigt einen Stau an, der um 06:00 Uhr begonnen hat. Die Software modelliert ihn mit den Parametern $a = 2{,}4$ und $b = 12$. Berechnen Sie, wann die vorhergesagte Staulänge nach der Entstehung erstmals $10\text{ Kilometer}$ beträgt.

(4)

Berechnen Sie, um wie viel Prozent sich die vorausgesagte maximale Staulänge verringert, wenn das Leitsystem eingeschaltet wird ($a = 1{,}75$, $b = 8$ statt zuvor $a = 2{,}4$, $b = 12$).

%

(5)

Neben dem Leitsystem soll ein Polizeieinsatz den Stau verkleinern. Die Polizei möchte erreichen, dass die Staulänge ab 11:00 Uhr gleichmäßig mit der Änderungsrate sinkt, die die Software für 11:00 Uhr vorhersagt.

(i)

Ermitteln Sie unter diesen Bedingungen mithilfe von Abbildung 2 grafisch, zu welchem Zeitpunkt der Stau verschwunden sein wird.

(ii)

Überprüfen Sie das Ergebnis aus (i) rechnerisch.

Aufgabenstellung: Modellierung eines Staus an einer Autobahnbaustelle

An einer Autobahnbaustelle bildet sich am Morgen oft ein Stau.

An einem bestimmten Tag beginnt der Stau um 06:00 Uhr und ist um 10:00 Uhr völlig aufgelöst. Die momentane Änderungsrate der Staulänge lässt sich für diesen Tag vom Beginn bis zum Ende des Staus durch die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit

$$f(x) = x \cdot (8 - 5x) \cdot \left(1 - \frac{x}{4}\right)^2$$ darstellen. Dabei steht $x$ für die seit 06:00 Uhr verstrichene Zeit in Stunden und $f(x)$ für die momentane Änderungsrate der Staulänge in Kilometer pro Stunde.

Neben $f$ spielt im Sachzusammenhang auch die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $s$ mit

$$s(x) = \left(\frac{x}{4}\right)^2 \cdot (4 - x)^3$$ eine Rolle.

Außerdem wird die Funktionenschar $l_{a;b}$ betrachtet, deren Funktionen in $\mathbb{R}$ definiert sind, mit

$$l_{a;b}(x) = 16 \cdot \frac{a}{b} \cdot x^2 \cdot \left(1 - \frac{x}{b}\right)^3 \quad \text{und } a, b \in \mathbb{R},\ a > 0,\ b > 0.$$ Eine Verkehrszentrale beobachtet den Autobahnverkehr der Region. Ihre Computersysteme empfangen fortlaufend Sensor- und Kameradaten, die eine Software auswertet.

Die Software beschreibt Staulängen durch die Funktionen $l_{a;b}$. Dabei bezeichnet $x$ mit $0 \leq x \leq b$ die seit der Entstehung des Staus vergangene Zeit in Stunden und $l_{a;b}(x)$ die Staulänge in Kilometer.

Neben der Funktion $f$ spielt im Sachzusammenhang auch die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $s$ mit $$s(x) = \left(\frac{x}{4}\right)^2 \cdot (4-x)^3$$ eine Rolle.

(5)

Begründen Sie die Richtigkeit der folgenden Aussage:

Die Staulänge in Kilometern kann für jeden Zeitpunkt von 06:00 Uhr bis 10:00 Uhr durch die Funktion $s$ angegeben werden.

Weisen Sie rechnerisch nach, dass der Stau um 10:00 Uhr vollständig verschwunden ist.

(6)

Berechnen Sie, um wie viel die Staulänge von 06:30 Uhr bis 08:00 Uhr zunimmt, und bestimmen Sie die durchschnittliche Änderungsrate der Staulänge in diesem Zeitraum.

(7)

Bestimmen Sie den Zeitpunkt zwischen 06:00 Uhr und 10:00 Uhr, an dem der Stau 0,5 km kürzer ist als eine Stunde zuvor.

(8)

Für einen anderen Tag zeigt der Graph in Abbildung 1 die momentane Änderungsrate der Staulänge von 06:00 Uhr bis 10:00 Uhr. Dabei bezeichnet $x$ die seit 06:00 Uhr vergangene Zeit in Stunden und $y$ die momentane Änderungsrate in Kilometer pro Stunde.

Um 07:30 Uhr hat der Stau eine bestimmte Länge. Zu einem anderen Zeitpunkt ist der Stau genauso lang.

Markieren Sie diesen Zeitpunkt näherungsweise in Abbildung 1 und begründen Sie Ihr Vorgehen.

Aufgabenstellung: Modellierung eines Staus an einer Autobahnbaustelle

An einer Autobahnbaustelle bildet sich am Morgen oft ein Stau.

An einem bestimmten Tag beginnt der Stau um 06:00 Uhr und ist um 10:00 Uhr völlig aufgelöst. Die momentane Änderungsrate der Staulänge lässt sich für diesen Tag vom Beginn bis zum Ende des Staus durch die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit

$$f(x) = x \cdot (8 - 5x) \cdot \left(1 - \frac{x}{4}\right)^2$$ darstellen. Dabei steht $x$ für die seit 06:00 Uhr verstrichene Zeit in Stunden und $f(x)$ für die momentane Änderungsrate der Staulänge in Kilometer pro Stunde.

Neben $f$ spielt im Sachzusammenhang auch die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $s$ mit

$$s(x) = \left(\frac{x}{4}\right)^2 \cdot (4 - x)^3$$ eine Rolle.

Außerdem wird die Funktionenschar $l_{a;b}$ betrachtet, deren Funktionen in $\mathbb{R}$ definiert sind, mit

$$l_{a;b}(x) = 16 \cdot \frac{a}{b} \cdot x^2 \cdot \left(1 - \frac{x}{b}\right)^3 \quad \text{und } a, b \in \mathbb{R},\ a > 0,\ b > 0.$$ Eine Verkehrszentrale beobachtet den Autobahnverkehr der Region. Ihre Computersysteme empfangen fortlaufend Sensor- und Kameradaten, die eine Software auswertet.

Die Software beschreibt Staulängen durch die Funktionen $l_{a;b}$. Dabei bezeichnet $x$ mit $0 \leq x \leq b$ die seit der Entstehung des Staus vergangene Zeit in Stunden und $l_{a;b}(x)$ die Staulänge in Kilometer.

b) Gegeben ist die Funktionenschar $l_{a;b}$, die auf $\mathbb{R}$ definiert ist, mit

$$l_{a;b}(x) = 16 \cdot \frac{a}{b} \cdot x^2 \cdot \left(1 - \frac{x}{b}\right)^3 \quad \text{und } a, b \in \mathbb{R},\, a > 0,\, b > 0.$$

(2)

Wählt man die Parameter $a_s$ und $b_s$ passend, stimmt die Funktion $l_{a_s; b_s}$ mit der Funktion $s$ aus Aufgabenteil a) überein.

Bestimmen Sie die Werte der Parameter $a_s$ und $b_s$.

Eine Verkehrszentrale beobachtet den Autobahnverkehr in der Region. Ihre Computersysteme empfangen fortlaufend Sensor- und Kameradaten, die eine Software auswertet.

Zur Modellierung von Staulängen nutzt die Software die Funktionen $l_{a;b}$. Dabei beschreibt $x$ mit $0 \le x \le b$ die seit der Staubildung verstrichene Zeit in Stunden und $l_{a;b}(x)$ die Staulänge in Kilometern.

(3)

Ein Display zeigt einen Stau, der um 06:00 Uhr begonnen hat. Die Software modelliert ihn mit den Parametern $a = 2,4$ und $b = 12$.

Berechnen Sie den Zeitpunkt, an dem die prognostizierte Staulänge nach der Staubildung erstmals 10 Kilometer erreicht.

Der Körper $K$ aus Abbildung 1 besitzt die Eckpunkte $A_1, A_2, A_3, A_4, B_1, B_2, B_3$ und $B_4$ und weist die folgenden Merkmale auf:

$A_1A_2A_3A_4$ ist ein Rechteck, das in der $x_1x_2$-Ebene liegt, und $B_1B_2B_3B_4$ ist ein Rechteck in einer Ebene parallel zur $x_1x_2$-Ebene. Die Vierecke $A_2A_3B_3B_2$ und $A_1A_4B_4B_1$ befinden sich jeweils in Ebenen parallel zur $x_1x_3$-Ebene.

Die Koordinaten von sechs Eckpunkten lauten:

$A_1(50|-5|0)$

$A_2(50|5|0)$

$A_3\left(\frac{\sqrt{75}}{3}\middle|5\middle|0\right)$

$A_4\left(\frac{\sqrt{75}}{3}\middle|-5\middle|0\right)$

$B_2(10|5|30)$

$B_3\left(\frac{\sqrt{75}}{3}\middle|5\middle|30\right)$

Ein Architekturbüro nutzt den Körper $K$ in einem mathematischen Modell für die Planung eines neuen Hotels mit zehn gleich hohen Stockwerken. Die Hotelzimmer, die an die Schrägen grenzen, sollen in der 1. bis 9. Etage Balkone erhalten. Abbildung 2 zeigt beispielhaft den Boden des Balkons der 3. Etage.

Im Modell steht eine Längeneinheit für einen Meter in der Wirklichkeit.

Das Hotel besteht aus drei gleich geformten Gebäuden. Gebäude I wird durch den Körper $K$ modelliert; die Gebäude II und III entstehen aus Gebäude I durch je eine Drehung um $120^\circ$ (siehe Abbildung 4). Die drei Gebäude grenzen so aneinander, dass ein dreieckiger Innenhof entsteht, der im Modell in der $x_1x_2$-Ebene liegt.

In Abbildung 5 ist das Hotelmodell in der Draufsicht zu sehen:

a)

(1) Geben Sie die Koordinaten von $B_1$ an.

(2) Begründen Sie, dass es sich bei der Seitenfläche $A_2A_3B_3B_2$ um ein Trapez handelt, und berechnen Sie das Volumen des Körpers $K$.

Das Hotel besteht aus drei Gebäuden gleicher Form. Gebäude I wird durch den Körper $K$ dargestellt; Gebäude II und III entstehen aus Gebäude I durch jeweils eine Drehung um $120^\circ$ (siehe Abbildung 4). Die drei Gebäude schließen so aneinander an, dass sie einen dreieckigen Innenhof umschließen. Im Modell liegt dieser Innenhof in der $x_1x_2$-Ebene.

Abbildung 5 stellt das Hotelmodell in der Ansicht von oben dar.

c)

Der Innenhof $A_4A_3P$ ist ein gleichseitiges Dreieck.

(1) Ermitteln Sie die Koordinaten von $P$ rechnerisch.

[Zur Kontrolle: $P\left(-\frac{2\cdot \sqrt{75}}{3}\middle|0\middle|0\right) \approx P(-5{,}77|0|0)$]

(2) Berechnen Sie die Entfernung zwischen $A_4$ und dem Koordinatenursprung $O(0|0|0)$.

Der Körper $K$ aus Abbildung 1 besitzt die Eckpunkte $A_1, A_2, A_3, A_4, B_1, B_2, B_3$ und $B_4$ und weist die folgenden Merkmale auf:

$A_1A_2A_3A_4$ ist ein Rechteck, das in der $x_1x_2$-Ebene liegt, und $B_1B_2B_3B_4$ ist ein Rechteck in einer Ebene parallel zur $x_1x_2$-Ebene. Die Vierecke $A_2A_3B_3B_2$ und $A_1A_4B_4B_1$ befinden sich jeweils in Ebenen parallel zur $x_1x_3$-Ebene.

Die Koordinaten von sechs Eckpunkten lauten:

$A_1(50|-5|0)$

$A_2(50|5|0)$

$A_3\left(\frac{\sqrt{75}}{3}\middle|5\middle|0\right)$

$A_4\left(\frac{\sqrt{75}}{3}\middle|-5\middle|0\right)$

$B_2(10|5|30)$

$B_3\left(\frac{\sqrt{75}}{3}\middle|5\middle|30\right)$

Ein Architekturbüro nutzt den Körper $K$ in einem mathematischen Modell für die Planung eines neuen Hotels mit zehn gleich hohen Stockwerken. Die Hotelzimmer, die an die Schrägen grenzen, sollen in der 1. bis 9. Etage Balkone erhalten. Abbildung 2 zeigt beispielhaft den Boden des Balkons der 3. Etage.

Im Modell steht eine Längeneinheit für einen Meter in der Wirklichkeit.

Das Hotel besteht aus drei gleich geformten Gebäuden. Gebäude I wird durch den Körper $K$ modelliert; die Gebäude II und III entstehen aus Gebäude I durch je eine Drehung um $120^\circ$ (siehe Abbildung 4). Die drei Gebäude grenzen so aneinander, dass ein dreieckiger Innenhof entsteht, der im Modell in der $x_1x_2$-Ebene liegt.

In Abbildung 5 ist das Hotelmodell in der Draufsicht zu sehen:

b)

Durch $E_a: \vec{x} = \begin{pmatrix} 50-a \\ 5 \\ 0{,}75\cdot a \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -10 \\ 0 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$, $a\in\mathbb{R}$, $r,s\in\mathbb{R}$, beschreibt eine Schar paralleler Ebenen. Im Weiteren wird der Boden eines jeden Balkons als Fläche in einer passenden Ebene dieser Schar modelliert. So liegt etwa der Boden des Balkons der 3. Etage in der Ebene $E_{12}$.

(1) Zeigen Sie: Der Punkt $(50-a \mid 5 \mid 0{,}75\cdot a)$ liegt für alle $a$ mit $0 \le a \le 40$ auf der Strecke $\overline{A_2B_2}$.

(2) Sämtliche Punkte der Bodenfläche des Balkons der 3. Etage werden durch die Parametergleichung

$$\vec{x} = \begin{pmatrix} 38 \\ 5 \\ 9 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -10 \\ 0 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad 0\le r\le 1,\ 0\le s\le 3,$$

erfasst.

Der Balkon ruht, wie in Abbildung 3 zu sehen, auf den zwei senkrechten Stützen $s_1$ und $s_2$.

Berechnen Sie die Länge der Stütze $s_1$.

d)

(1) Stellen Sie eine Koordinatengleichung derjenigen Ebene $F$ auf, welche die Fläche $A_1A_2B_2B_1$ enthält.

[Zur Überprüfung: $F: 3\cdot x_1 + 4\cdot x_3 = 150$.]

(2) Mitten im Innenhof befindet sich ein Mast mit der Spitze im Punkt $S(0\mid 0\mid 35)$. Zu einem gewissen Zeitpunkt verlaufen die Sonnenstrahlen in Richtung $\vec{r} = \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}$.

Untersuchen Sie, ob der Schatten der Mastspitze zu diesem Zeitpunkt in der Fläche $A_1A_2B_2B_1$ liegt.

Ja

Nein

Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln

Aufgabenstellung:

Ein Betrieb produziert Olivenöl und füllt dieses in Flaschen. Auf jeder Flasche ist als Füllmenge $600\text{ ml}$ angegeben.

a) Je zwölf Flaschen werden zu einem Karton zusammengepackt. Ein Karton wird als fehlerhaft bezeichnet, wenn darin mehr als eine Flasche mit weniger als $600\text{ ml}$ Öl enthalten ist. Jede Flasche enthält mit einer Wahrscheinlichkeit von $1{,}5\,\%$ weniger als $600\text{ ml}$ Öl.

(1)

Im Sachzusammenhang liefert die Rechnung $0{,}985^{12} \approx 83{,}4\,\%$ die Lösung einer Aufgabe.

Formulieren Sie dazu eine geeignete Aufgabenstellung und erläutern Sie, wie die Rechnung angesetzt wird.

(2)

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass von $100$ Flaschen genau drei weniger als $600\text{ ml}$ Öl enthalten.

(3)

Nacheinander werden Flaschen geöffnet und ihre Füllmenge kontrolliert.

Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass erst die vierte geöffnete Flasche die erste kontrollierte ist, die weniger als $600\text{ ml}$ Öl enthält.

(4)

Ein Supermarkt bekommt regelmäßig eine gleich große Anzahl Flaschen geliefert. Im Mittel enthalten dabei mehr als $780$ Flaschen mindestens $600\text{ ml}$ Öl.

Ermitteln Sie, wie viele Flaschen eine regelmäßige Lieferung mindestens enthält.

(5)

Ein Supermarkt wird mit $150$ Kartons beliefert.

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, mit der mehr als $3\,\%$ der Kartons fehlerhaft sind.

b) Für die Füllmenge der Flaschen soll eine Normalverteilung mit dem Erwartungswert $600{,}5\text{ ml}$ und der Standardabweichung $0{,}23\text{ ml}$ zugrunde gelegt werden.

(1)

Es wird zufällig eine Flasche gewählt.

Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit der folgenden Ereignisse:

$A$: „Die Flasche enthält mehr als $601\text{ ml}$ Öl.“

$B$: „Die Füllmenge der Flasche weicht höchstens um $0{,}5\text{ ml}$ vom Erwartungswert ab.“

(2)

Eine Füllmenge kann nicht negativ sein. Die zur Modellierung genutzte Normalverteilung ist dagegen auch für negative reelle Zahlen definiert und liefert dort stets positive Werte.

Begründen Sie, warum die Normalverteilung trotzdem sinnvoll verwendet werden kann.

(3)

Der Betrieb will erreichen, dass seltener eine Flasche weniger als $600\text{ ml}$ Öl enthält. Zur dafür nötigen Anpassung der Abfüllmaschine liegen zwei Vorschläge vor:

Vorschlag 1: Die eingestellte Füllmenge von $600{,}5\text{ ml}$ wird heraufgesetzt.

Vorschlag 2: Die eingestellte Füllmenge von $600{,}5\text{ ml}$ wird künftig genauer eingehalten.

Der Erwartungswert der Zufallsgröße ist immer die eingestellte Füllmenge.

Die Abbildungen 1 und 2 zeigen jeweils den Graphen der Dichtefunktion, welche die Füllmenge der Flaschen vor der Anpassung der Maschine beschreibt:

Skizzieren Sie in Abbildung 1 einen möglichen Graphen einer Dichtefunktion nach Vorschlag 1 sowie in Abbildung 2 einen passenden Graphen nach Vorschlag 2.

Begründen Sie für beide Vorschläge anhand Ihrer Skizze, dass das Ziel des Unternehmens erreicht wird.

Aufgabenstellung:

Abbildung 1 stellt vereinfacht die achsensymmetrische Seitenansicht einer Hängebrücke dar. Zwischen den beiden senkrechten Pfeilern beträgt der Abstand $400\text{ m}$. Die Fahrbahn befindet sich $20\text{ m}$ über der Wasseroberfläche.

Durch die beiden Pfeiler wird die Brücke in einen linken, einen mittleren und einen rechten Teil unterteilt. Das Tragseil des mittleren Teils sowie das Abspannseil des linken bzw. rechten Teils sind jeweils am oberen Pfeilerende befestigt. Jedes der beiden Abspannseile ist am zugehörigen Fahrbahnende verankert.

Im gewählten Koordinatensystem steht eine Längeneinheit für $10\text{ m}$ in der Wirklichkeit. In der Seitenansicht liegt die $x$-Achse auf der waagerechten Fahrbahn und die $y$-Achse auf der Symmetrieachse.

Teilaufgabe a)

Für den rechten Brückenabschnitt wird der Verlauf des Abspannseils im Modell mit dem Funktionsterm

$$r(x) = \frac{253}{100} \cdot \left(e^{\frac{1}{11}(32-x)} - 1\right)$$

dargestellt.

(1)

Zeigen Sie, dass die gesamte Länge der Fahrbahn der Brücke 640 m beträgt.

(2)

Auch für den linken Brückenabschnitt lässt sich der Verlauf des Abspannseils im Modell mit einem Funktionsterm darstellen.

Geben Sie einen geeigneten Term $l(x)$ an und nennen Sie das Intervall, auf dem dieser Term das Abspannseil beschreibt.

(3)

Berechnen Sie, wie hoch die Pfeiler über der Wasseroberfläche aufragen.

(4)

Untersuchen Sie rechnerisch, ob die Steigungen des rechten und des linken Abspannseils an der Stelle, an der sie jeweils auf ihren Pfeiler treffen, zwischen $-0{,}7$ und $0{,}7$ liegen.

Befinden sich die Steigungen beider Seile betragsmäßig innerhalb des vorgegebenen Bereichs zwischen $-0{,}7$ und $0{,}7$?

Ja

Nein

(5)

In der Seitenansicht schließen der rechte Pfeiler, das dazugehörige Abspannseil und die Fahrbahn ein Flächenstück ein.

Ermitteln Sie den Inhalt dieses Flächenstücks in der Realität.

Teilaufgabe b)

Nun wird der mittlere Brückenabschnitt untersucht. Senkrechte Halteseile verbinden die Fahrbahn mit dem Tragseil. Ihr horizontaler Abstand zu den Pfeilern und zueinander beträgt jeweils $16\text{ m}$.

Den Verlauf des Tragseils beschreibt im Modell der Funktionsterm

$$s(x) = \left(\frac{1}{8}\right)^6 \cdot \left(x^4 + 2560x^2\right) + \frac{125}{256}$$

.

(1)

Begründen Sie, dass der Term von $s$ mit der Achsensymmetrie der Seitenansicht der Brücke vereinbar ist.

(2)

Zwei Halteseile im mittleren Brückenabschnitt sind jeweils $\frac{643061}{64000}\text{ m} \approx 10{,}00\text{ m}$.

Berechnen Sie, an welchen Stellen in der Realität sich diese Halteseile befinden.

Geben Sie zudem an, das wievielte Halteseil von der Brückenmitte aus gezählt diese Seile jeweils sind.

(3)

In der rechten Hälfte des mittleren Abschnitts liegen zwei Punkte des Tragseils horizontal $40\text{ m}$ auseinander und unterscheiden sich in der Höhe um $5\text{ m}$.

Geben Sie eine Gleichung an, mit der sich im Modell die $x$-Koordinate des höheren Punkts bestimmen lässt.

(4)

Geben Sie an, was der Term

$$(s(-20 + 1{,}6\cdot 1) + s(-20 + 1{,}6\cdot 2) + \dots + s(-20 + 1{,}6\cdot 23) + s(-20 + 1{,}6\cdot 24))\cdot 10$$

im Sachzusammenhang bedeutet, und begründen Sie Ihre Angabe.

Aufgabenstellung:

Abbildung 1 stellt vereinfacht die achsensymmetrische Seitenansicht einer Hängebrücke dar. Zwischen den beiden senkrechten Pfeilern beträgt der Abstand $400\text{ m}$. Die Fahrbahn befindet sich $20\text{ m}$ über der Wasseroberfläche.

Durch die beiden Pfeiler wird die Brücke in einen linken, einen mittleren und einen rechten Teil unterteilt. Das Tragseil des mittleren Teils sowie das Abspannseil des linken bzw. rechten Teils sind jeweils am oberen Pfeilerende befestigt. Jedes der beiden Abspannseile ist am zugehörigen Fahrbahnende verankert.

Im gewählten Koordinatensystem steht eine Längeneinheit für $10\text{ m}$ in der Wirklichkeit. In der Seitenansicht liegt die $x$-Achse auf der waagerechten Fahrbahn und die $y$-Achse auf der Symmetrieachse.

(4) Untersuchen Sie rechnerisch, ob die Steigungen des rechten und des linken Abspannseils an dem jeweils zugehörigen Pfeiler im Intervall zwischen $-0{,}7$ und $0{,}7$ liegen.

a)

b)

Ja

Nein

Aufgabenstellung:

Abbildung 1 stellt vereinfacht die achsensymmetrische Seitenansicht einer Hängebrücke dar. Zwischen den beiden senkrechten Pfeilern beträgt der Abstand $400\text{ m}$. Die Fahrbahn befindet sich $20\text{ m}$ über der Wasseroberfläche.

Durch die beiden Pfeiler wird die Brücke in einen linken, einen mittleren und einen rechten Teil unterteilt. Das Tragseil des mittleren Teils sowie das Abspannseil des linken bzw. rechten Teils sind jeweils am oberen Pfeilerende befestigt. Jedes der beiden Abspannseile ist am zugehörigen Fahrbahnende verankert.

Im gewählten Koordinatensystem steht eine Längeneinheit für $10\text{ m}$ in der Wirklichkeit. In der Seitenansicht liegt die $x$-Achse auf der waagerechten Fahrbahn und die $y$-Achse auf der Symmetrieachse.

(5) In der Seitenansicht schließen der rechte Pfeiler, das dazugehörige Abspannseil und die Fahrbahn eine Fläche ein.

Ermitteln Sie den Inhalt dieser Fläche in der Realität.

a)

b)