Aufgabe B3 - Längen, Winkel und Abstände · Abitur NRW Mathematik LK · Nachtermin · GTR 2023

Abbildung 1 zeigt einen Pyramidenstumpf. Das Koordinatensystem wurde so festgelegt, dass die quadratische Grundfläche $A_1A_2A_3A_4$ in der $x_1$-$x_2$-Ebene liegt, während sich die quadratische Deckfläche in einer zur $x_1$-$x_2$-Ebene parallelen Ebene auf der Höhe $10$ befindet. Zudem geht die $x_3$-Achse durch die Diagonalenschnittpunkte dieser beiden Quadrate. Die Seitenlänge der quadratischen Deckfläche beträgt $4$.

Es gilt $A_1(4 \mid 4 \mid 0)$, $A_2(-4 \mid 4 \mid 0)$, $A_4(4 \mid -4 \mid 0)$ und $D(2 \mid 2 \mid 10)$.

Abbildung 2 zeigt einen Körper, der entsteht, wenn man die Deckfläche um $90^\circ$ um die $x_3$-Achse dreht und die Grundfläche $A_1A_2A_3A_4$ dabei unverändert lässt. In Abbildung 3 ist dieser Körper von oben zu sehen. Für den in den Abbildungen 2 und 3 gezeigten Körper, auf den sich die folgenden Aufgaben beziehen, gilt:

$A_1(4 \mid 4 \mid 0)$, $A_2(-4 \mid 4 \mid 0)$, $A_4(4 \mid -4 \mid 0)$,

$B_1(-2 \mid 2 \mid 10)$, $B_2(-2 \mid -2 \mid 10)$, $B_3(2 \mid -2 \mid 10)$, $B_4(2 \mid 2 \mid 10)$.

Teilaufgabe a

(1)

Geben Sie die Koordinaten des Punktes $A_3$ an.

(2)

Berechnen Sie, welches Volumen der Pyramidenstumpf hat.

(3)

Berechnen Sie den Flächeninhalt $F_S$ der quadratischen Fläche $S$, in der der Pyramidenstumpf von der zur $x_1$-$x_2$-Ebene parallelen Ebene in der Höhe 5 geschnitten wird.

Teilaufgabe b (2)

(2)

Berechnen Sie die Größe des Winkels, den die Kante $\overline{A_1B_1}$ mit der Grundfläche $A_1A_2A_3A_4$ des Körpers einschließt.

Teilaufgabe c (2)

Zu den Geraden $A_3B_3$ und $A_4B_4$ liegt die folgende Berechnung vor, die nur teilweise dokumentiert ist:

$$\text{(I) } \vec{OP} = \begin{pmatrix} -4 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \\ 10 \end{pmatrix}, \quad \vec{OQ} = \begin{pmatrix} 4 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 6 \\ 10 \end{pmatrix}, \quad r,s \in \mathbb{R}.$$

$$\text{(II) } \vec{PQ} = \vec{OQ} - \vec{OP} = \dots$$

$$\text{(III) } \begin{vmatrix} \vec{PQ} \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \\ 10 \end{pmatrix} = 0 \\ \vec{PQ} \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 6 \\ 10 \end{pmatrix} = 0 \end{vmatrix} \iff \begin{vmatrix} r = \dots \\ s = \dots \end{vmatrix}.$$

$$\text{(IV) Einsetzen von } r = \dots \text{ und } s = \dots \text{ in } \vec{PQ} \text{ liefert den Vektor } \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 4 \\ 8 \\ -4 \end{pmatrix}.$$

$$\text{(V) } \left| \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 4 \\ 8 \\ -4 \end{pmatrix} \right| = \frac{4\cdot \sqrt{6}}{3} \approx 3{,}27.$$

(i)

Bestimmen Sie $r$ und $s$ mithilfe von (I), (II) und (III).

(ii)

Interpretieren Sie den Wert $\frac{4\cdot\sqrt{6}}{3}$ geometrisch.

Teilaufgabe d (2)-(4)

(2)

Zeigen Sie: Für das Quadrat $H_1H_2H_3H_4$ in der Höhe $h$ gilt für den Flächeninhalt $F(h)$ die Beziehung $F(h) = \frac{4}{5}\cdot h^2 - \frac{64}{5}\cdot h + 64$.

(3)

Ermitteln Sie diejenige Höhe $h$, für die das Quadrat $H_1H_2H_3H_4$ den kleinsten Flächeninhalt hat.

(4)

In einer bestimmten Höhe $h$ gilt $\alpha = 45^\circ$. Ermitteln Sie diese Höhe $h$.