Aufgabe B3 - Geraden und Ebenen · Abitur NRW Mathematik LK · Nachtermin · GTR · Weiterbildungsko 2023

Aufgabenstellung:

In Abbildung 1 ist ein Pyramidenstumpf zu sehen. Das Koordinatensystem ist so festgelegt, dass die quadratische Grundfläche $A_1A_2A_3A_4$ in der $x_1$-$x_2$-Ebene liegt, während die quadratische Deckfläche in einer zur $x_1$-$x_2$-Ebene parallelen Ebene auf der Höhe $10$ liegt. Die $x_3$-Achse geht zudem durch die Diagonalenschnittpunkte beider Quadrate. Die Seitenlänge der quadratischen Deckfläche beträgt $4$.

Es gilt $A_1(4|4|0)$, $A_2(-4|4|0)$, $A_4(4|-4|0)$ und $D(2|2|10)$.

In Abbildung 2 ist ein Körper abgebildet, der entsteht, wenn die Deckfläche um $90^\circ$ um die $x_3$-Achse gedreht wird, während die Grundfläche $A_1A_2A_3A_4$ unverändert bleibt. Abbildung 3 zeigt diesen Körper in der Draufsicht. Für den in den Abbildungen 2 und 3 abgebildeten Körper, auf den sich die folgenden Aufgaben beziehen, gilt:

$A_1(4|4|0)$, $A_2(-4|4|0)$, $A_4(4|-4|0)$,

$B_1(-2|2|10)$, $B_2(-2|-2|10)$, $B_3(2|-2|10)$, $B_4(2|2|10)$.

Teilaufgabe b) (1)

Die Punkte $A_1$, $A_2$ und $B_1$ liegen in der Ebene $E$.

(i)

Ermitteln Sie für die Ebene $E$ eine Gleichung in Koordinatenform.

(ii)

Untersuchen Sie durch Rechnung, ob der Punkt $B_2$ zur Ebene $E$ gehört.

Ja

Nein

Teilaufgabe c) (1)

Die Kante $\overline{A_3B_3}$ liegt in der Geraden $A_3B_3: \vec{x} = \begin{pmatrix} -4 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \\ 10 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R}$, und die Kante $\overline{A_4B_4}$ liegt in der Geraden $A_4B_4: \vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 6 \\ 10 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R}$.

Weisen Sie durch Rechnung nach, dass die Geraden $A_3B_3$ und $A_4B_4$ zueinander windschief sind.

Teilaufgabe d) (1)

Der Punkt $H_1$ liegt auf der Kante $\overline{A_1B_1}$ in der Höhe $h, 0 < h \le 10$.

Weisen Sie nach: $H_1\left(4 - \frac{6}{10} \cdot h \;\middle|\; 4 - \frac{2}{10} \cdot h \;\middle|\; h\right)$.