Aufgabe 1 (b–c) - Differentialrechnung · Abitur NRW Mathematik GK · Teil B · Analysis (WTR) 2023

Thema: Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte · Aus der Prüfung GK · Teil B · Analysis (WTR) (2023)

Aufgabenstellung

Gegeben ist die in R\mathbb{R} definierte Funktion ff mit f(x)=127x3−43xf(x)=\frac{1}{27}x^3-\frac{4}{3}x. Ihr Graph GfG_f hat den Wendepunkt (0∣0)(0|0).

b)

GfG_f hat zwei Extrempunkte. Zeigen Sie, dass einer der beiden ein Tiefpunkt mit der x-Koordinate 12\sqrt{12} ist.

c)

Bestimmen Sie eine Gleichung der Tangente tt an GfG_f im Punkt P(6∣f(6))P(6|f(6)).

(zur Kontrolle: t:y=83x−16t: y = \frac{8}{3}x - 16)

y=y =

Aufgabenstellung: Aufgabe 1 (b–c) - Differentialrechnung · Abitur NRW Mathematik GK · Teil B · Analysis (WTR) 2023

Lösung

Nach den offiziellen Korrekturhinweisen

Zeigen Sie, dass einer der beiden ein Tiefpunkt mit der x-Koordinate 12\sqrt{12} ist.

Lösung: f′(x)=19x2−43f'(x) = \frac{1}{9}x^2 - \frac{4}{3}, f′′(x)=29xf''(x) = \frac{2}{9}x Damit gilt f′(12)=19⋅12−43=0f'(\sqrt{12}) = \frac{1}{9}\cdot 12 - \frac{4}{3} = 0 und f′′(12)>0f''(\sqrt{12}) > 0.

Bestimmen Sie eine Gleichung der Tangente tt an GfG_f im Punkt P(6∣f(6))P(6|f(6)).

Lösung: y = \frac{8}{3}x - 16 / \frac{8}{3}x - 16

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