Teil A - Aufgabe e (Ebene) · Abitur NRW Mathematik GK · Nachtermin · CAS 2023

e) Gegeben ist die Ebene $E: \vec{x} = \vec{u} + r \cdot \vec{v} + s \cdot \vec{w}$, $r, s \in \mathbb{R}$.

In Abbildung 2 ist ein Ausschnitt der Ebene $E$ dargestellt.

(1) (i)

Der in Abbildung 2 markierte Punkt $A$ liegt in der Ebene $E$. Man erhält ihn, indem man ganzzahlige Werte für die Parameter $r$ und $s$ in die Parametergleichung von $E$ einsetzt.

Geben Sie anhand von Abbildung 2 die Werte für $r$ und $s$ an, für die $\vec{u} + r \cdot \vec{v} + s \cdot \vec{w} = \vec{OA}$ erfüllt ist.

$r =$

$s =$

(1) (ii)

Zeichnen Sie in Abbildung 2 den Bereich ein, den man erhält, wenn man in die Parametergleichung von $E$ für $r$ und $s$ sämtliche Werte mit $0 \le r \le 2$ und $-1 \le s \le 1$ einsetzt.

(2)

Es gilt:

$$E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad r, s \in \mathbb{R}.$$

Untersuchen Sie, ob der Punkt $P(5|0|2)$ zur Ebene $E$ gehört.