Aufgabe B1 - Teilaufgabe c (3) · Abitur NRW Mathematik LK · Haupttermin · GTR · Weiterbildungsk 2023

Thema: Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte · Aus der Prüfung LK · Haupttermin · GTR · Weiterbildungskolleg (2023)

Aufgabenstellung

c) Betrachtet wird die Funktionenschar fkf_k mit Definitionsmenge R\mathbb{R} und der Gleichung

fk(x)=(x3+k)⋅ex mit k∈R.f_k(x) = (x^3 + k)\cdot e^x \text{ mit } k \in \mathbb{R}\text{.}

Die Funktion f−5f_{-5} ist identisch mit der Funktion ff.

In Abbildung 3 sind drei Graphen GI,GII,GIIIG_I, G_{II}, G_{III} der Schar dargestellt, die zu drei verschiedenen Parameterwerten kI,kII,kIIIk_I, k_{II}, k_{III} gehören.

Die Ableitungsfunktion fk′f_k' ist gegeben durch:

fk′(x)=(x3+3x2+k)⋅ex,x∈R; k∈R.f_k'(x) = (x^3 + 3x^2 + k) \cdot e^x, \quad x \in \mathbb{R};\, k \in \mathbb{R}.

(3) Wie die Anzahl der Extremstellen von fkf_k vom Parameter kk abhängt, soll genauer untersucht werden. Dazu werden die Nullstellen der Funktion hkh_k mit hk(x)=x3+3x2+kh_k(x) = x^3 + 3x^2 + k betrachtet.

Abbildung 4 stellt den Graphen der Funktion h0h_0 (also k=0k = 0) dar.

(i)

Geben Sie mithilfe von Abbildung 4 an, wie viele Nullstellen die Funktion hkh_k je nach Wert des Parameters kk besitzt.

(ii)

Begründen Sie, dass die folgenden drei Aussagen zutreffen:

Aufgabenstellung: Aufgabe B1 - Teilaufgabe c (3) · Abitur NRW Mathematik LK · Haupttermin · GTR · Weiterbildungsk 2023

Lösung

Nach den offiziellen Korrekturhinweisen

(i) Geben Sie mithilfe von Abbildung 4 an, wie viele Nullstellen die Funktion hkh_k je nach Wert des Parameters kk besitzt.

Lösung: Genau zwei Nullstellen für k=0k = 0 oder k=−4k = -4. Genau eine Nullstelle für k>0k > 0 oder k<−4k < -4. Genau drei Nullstellen für −4<k<0-4 < k < 0.

(ii) Begründen Sie die Richtigkeit der Aussage S1: Für jedes k>0k > 0 hat die Funktion fkf_k genau eine Extremstelle.

Lösung: Für k>0k > 0 hat die Funktion hkh_k und damit auch die Funktion fk′f_k' genau eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel. fkf_k hat daher genau eine Extremstelle.

(ii) Begründen Sie, dass die Aussage S2 zutrifft: Es gibt keine Funktion fkf_k, die mehr als drei Extremstellen hat.

Lösung: Die Funktion hkh_k kann als Polynomfunktion vom Grad 3 maximal drei Nullstellen haben. Wegen der notwendigen Bedingung fk′(x)=0f_k'(x) = 0 für Extremstellen kann es nicht mehr als drei Extremstellen für die Funktion fkf_k geben.

(ii) Begründen Sie, dass die Aussage S3 zutrifft: Es gibt keine Funktion fkf_k, die genau zwei Extremstellen hat.

Lösung: Die Funktion hkh_k hat nur für k=0k = 0 oder k=−4k = -4 zwei Nullstellen. Dabei handelt es sich um eine Nullstelle mit und eine Nullstelle ohne Vorzeichenwechsel. Deshalb gibt es in diesen Fällen nur eine Extremstelle und eine Sattelstelle für die Funktion fkf_k. [Aus der Abbildung ist ersichtlich, dass im Falle von genau drei Nullstellen jeweils ein Vorzeichenwechsel vorliegt und dann drei Extremstellen existieren.]

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