Aufgabe B2 - Funktionen und ihre Eigenschaften · Abitur NRW Mathematik LK · Haupttermin · CAS · Weiterbildungsk 2023

Aufgabenstellung: Modellierung eines Staus an einer Autobahnbaustelle

An einer Autobahnbaustelle bildet sich am Morgen oft ein Stau.

An einem bestimmten Tag beginnt der Stau um 06:00 Uhr und ist um 10:00 Uhr völlig aufgelöst. Die momentane Änderungsrate der Staulänge lässt sich für diesen Tag vom Beginn bis zum Ende des Staus durch die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit

$$f(x) = x \cdot (8 - 5x) \cdot \left(1 - \frac{x}{4}\right)^2$$ darstellen. Dabei steht $x$ für die seit 06:00 Uhr verstrichene Zeit in Stunden und $f(x)$ für die momentane Änderungsrate der Staulänge in Kilometer pro Stunde.

Neben $f$ spielt im Sachzusammenhang auch die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $s$ mit

$$s(x) = \left(\frac{x}{4}\right)^2 \cdot (4 - x)^3$$ eine Rolle.

Außerdem wird die Funktionenschar $l_{a;b}$ betrachtet, deren Funktionen in $\mathbb{R}$ definiert sind, mit

$$l_{a;b}(x) = 16 \cdot \frac{a}{b} \cdot x^2 \cdot \left(1 - \frac{x}{b}\right)^3 \quad \text{und } a, b \in \mathbb{R},\ a > 0,\ b > 0.$$ Eine Verkehrszentrale beobachtet den Autobahnverkehr der Region. Ihre Computersysteme empfangen fortlaufend Sensor- und Kameradaten, die eine Software auswertet.

Die Software beschreibt Staulängen durch die Funktionen $l_{a;b}$. Dabei bezeichnet $x$ mit $0 \leq x \leq b$ die seit der Entstehung des Staus vergangene Zeit in Stunden und $l_{a;b}(x)$ die Staulänge in Kilometer.

b) Gegeben ist die Funktionenschar $l_{a;b}$, die auf $\mathbb{R}$ definiert ist, mit

$$l_{a;b}(x) = 16 \cdot \frac{a}{b} \cdot x^2 \cdot \left(1 - \frac{x}{b}\right)^3 \quad \text{und } a, b \in \mathbb{R},\, a > 0,\, b > 0.$$

(2)

Wählt man die Parameter $a_s$ und $b_s$ passend, stimmt die Funktion $l_{a_s; b_s}$ mit der Funktion $s$ aus Aufgabenteil a) überein.

Bestimmen Sie die Werte der Parameter $a_s$ und $b_s$.

Eine Verkehrszentrale beobachtet den Autobahnverkehr in der Region. Ihre Computersysteme empfangen fortlaufend Sensor- und Kameradaten, die eine Software auswertet.

Zur Modellierung von Staulängen nutzt die Software die Funktionen $l_{a;b}$. Dabei beschreibt $x$ mit $0 \le x \le b$ die seit der Staubildung verstrichene Zeit in Stunden und $l_{a;b}(x)$ die Staulänge in Kilometern.

(3)

Ein Display zeigt einen Stau, der um 06:00 Uhr begonnen hat. Die Software modelliert ihn mit den Parametern $a = 2,4$ und $b = 12$.

Berechnen Sie den Zeitpunkt, an dem die prognostizierte Staulänge nach der Staubildung erstmals 10 Kilometer erreicht.