Aufgabe B2 - Teilaufgabe a (5)-(8) · Abitur NRW Mathematik LK · Haupttermin · GTR · Weiterbildungsk 2023

An einer Baustelle auf einer Autobahn bildet sich am Morgen oft ein Stau.

An einem bestimmten Tag bildet sich der Stau um 06:00 Uhr und ist um 10:00 Uhr völlig aufgelöst. Für diesen Tag lässt sich die momentane Änderungsrate der Staulänge vom Beginn bis zum Ende des Staus durch die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit

$$f(x) = x \cdot (8 - 5x) \cdot \left(1 - \frac{x}{4}\right)^2$$$$= -\frac{5}{16}x^4 + 3x^3 - 9x^2 + 8x$$darstellen. Dabei steht $x$ für die seit 06:00 Uhr verstrichene Zeit in Stunden und $f(x)$ für die momentane Änderungsrate der Staulänge in Kilometer pro Stunde.

Im betrachteten Zusammenhang spielt neben der Funktion $f$ auch die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $s$ mit$$s(x)=\left(\frac{x}{4}\right)^2\cdot (4-x)^3=-\frac{1}{16}x^5+\frac{3}{4}x^4-3x^3+4x^2$$eine Rolle.

(5)

Begründen Sie die Richtigkeit der folgenden Aussage:

Die Staulänge in Kilometern kann für jeden Zeitpunkt von 06:00 Uhr bis 10:00 Uhr durch die Funktion $s$ angegeben werden.

Weisen Sie rechnerisch nach, dass der Stau um 10:00 Uhr vollständig verschwunden ist.

(6)

Berechnen Sie, um wie viel die Staulänge von 06:30 Uhr bis 08:00 Uhr zunimmt, und bestimmen Sie für dieses Zeitintervall die mittlere Änderungsrate der Staulänge.

(7)

Bestimmen Sie den Zeitpunkt zwischen 06:00 Uhr und 10:00 Uhr, an dem der Stau 0,5 km kürzer ist als eine Stunde zuvor.

(8)

An einem anderen Tag wird die momentane Änderungsrate der Staulänge von 06:00 Uhr bis 10:00 Uhr durch den Graphen in Abbildung 1 beschrieben. Dabei bezeichnet $x$ die seit 06:00 Uhr vergangene Zeit in Stunden und $y$ die momentane Änderungsrate in Kilometer pro Stunde.

Um 07:30 Uhr hat der Stau eine bestimmte Länge. Zu einem anderen Zeitpunkt ist der Stau genauso lang.

Markieren Sie diesen Zeitpunkt näherungsweise in Abbildung 1 und begründen Sie Ihre Vorgehensweise.