Aufgabe B5 - Integralrechnung · Abitur NRW Mathematik GK · Nachtermin · GTR 2023

Skoliose ist eine Erkrankung der Wirbelsäule, bei der diese nicht gerade verläuft, sondern bei der mehrere Wirbel eine gekrümmte Form annehmen (siehe Abbildung 1). Auf Röntgenaufnahmen lässt sich diese Krümmung erkennen. Anhand der Aufnahmen entscheidet man über die weitere Behandlung.

Für $0 \le x \le 5$ beschreibt die Funktion $f$ den Verlauf eines Wirbelsäulenabschnitts eines Skoliose-Patienten mit

$$f(x) = 0{,}5 \cdot x^2 \cdot \mathrm{e}^{-1{,}2x+1{,}2}, \quad x \in \mathbb{R}.$$ Eine Einheit im Koordinatensystem steht für einen Dezimeter (dm).

Der gerade Verlauf der Wirbelsäule einer gesunden Person ohne Skoliose wird durch die $x$-Achse dargestellt.

In Abbildung 2 sieht man das um 90° gedrehte Röntgenbild der Wirbelsäule zusammen mit dem Graphen von $f$.

b) Für den größten Teil des Bereichs, in dem die Wirbelsäule seitlich verschoben ist, kommt bei der Herstellung eines Korsetts ein Spezialmaterial zum Einsatz. In Abbildung 4 ist die Fläche mit diesem Spezialmaterial schraffiert gekennzeichnet.

(1)

Berechnen Sie, in welchen Punkten die Tangenten $t_1$ bzw. $t_2$ die $x$-Achse schneiden.

$(\,$ $\mid 0)$

$(\,$ $\mid 0)$

(2)

Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Bereichs, der mit dem Spezialmaterial versehen wird.