Aufgabe B4 - Binomialverteilung · Abitur NRW Mathematik GK · Nachtermin · GTR · Weiterbildungsko 2023

Mit Gesichtserkennungssystemen lassen sich Personen auf Fotos, in Videos oder live identifizieren. Das System gleicht dazu bestimmte Gesichtsmerkmale mit bereits vorliegenden Fotos ab. Ist die Ähnlichkeit hinreichend groß, bewertet das System zwei Gesichter als dieselbe Person.

Eine Gesichtserkennungssoftware wird anhand von Aufnahmen freiwilliger Teilnehmender getestet. Von manchen dieser Personen liegen Fotos in einer Datenbank vor; sie heißen im Folgenden Zielpersonen. Teilnehmende ohne gespeichertes Foto in der Datenbank bezeichnet man als Kontrollpersonen.

Während einer Testphase vergleicht die Software Videos einzelner Personen, und zwar von Zielpersonen ebenso wie von Kontrollpersonen, mit den Fotos der Datenbank.

b) Für eine Werbebroschüre will die Softwarefirma Aussagen über die Qualität ihrer Gesichtserkennungssoftware sammeln. Hierfür sind Wahrscheinlichkeiten bestimmter Ereignisse erforderlich. Unter anderem wird angenommen, dass wie in der Testphase die Trefferwahrscheinlichkeit $80\,\%$ beträgt.

(1)

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit für das folgende Ereignis:

Durch die Software wird in 50 zufällig ausgewählten Videos von Zielpersonen in mehr als 40 Videos die gezeigte Person richtig als Zielperson eingestuft.

(2)

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich bei 100 zufällig gewählten Videos von Zielpersonen die Zahl der Videos mit richtig als Zielperson erkannter Person um höchstens 1,5 Standardabweichungen vom Erwartungswert unterscheidet.

(3)

Bestimmen Sie die kleinste Anzahl zufällig gewählter Videos von Zielpersonen, die die Software mit der Datenbank abgleichen muss, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $95\,\%$ in mindestens zehn dieser Videos die gezeigte Person korrekt als Zielperson erkannt wird.

d)

Ermitteln Sie die minimale Trefferwahrscheinlichkeit – in Prozent ohne Nachkommastelle –, die eine Gesichtserkennungssoftware haben muss, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $95\,\%$ bei mindestens 90 von 100 zufällig gewählten Videos von Zielpersonen die gezeigte Person korrekt als Zielperson erkannt wird.

%