Aufgabe 2 · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Lineare Algebra (WTR) 2023

Thema: Längen, Winkel und Abstände im Raum · Aus der Prüfung LK · Teil B · Lineare Algebra (WTR) (2023)

Aufgabenstellung

Der Koordinatenursprung OO sowie die Punkte P(−2∣4∣−2)P(-2|4|-2) und Q(−4∣2∣2)Q(-4|2|2) sind die Eckpunkte eines Dreiecks.

a

Der Innenwinkel des Dreiecks im Punkt QQ beträgt 60∘60^\circ. Bestimmen Sie die Größen der beiden anderen Innenwinkel.

∘^\circ

∘^\circ

b

Ein anderes Dreieck OTQOTQ hat den gleichen Flächeninhalt und den gleichen Umfang wie das Dreieck OPQOPQ. Bestimmen Sie die Koordinaten von TT.

c

Für einen Punkt KK gilt OK⃗=OP⃗+2⋅PQ⃗\vec{OK} = \vec{OP} + 2 \cdot \vec{PQ}. Begründen Sie, ohne zu rechnen, anhand einer geeigneten Skizze, dass die Flächeninhalte der Dreiecke OPQOPQ und OQKOQK übereinstimmen.

Aufgabenstellung: Aufgabe 2 · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Lineare Algebra (WTR) 2023

Lösung

Nach den offiziellen Korrekturhinweisen

a) Winkel bei O:

Lösung: 60∘60^\circ

a) Winkel bei P:

Lösung: 60∘60^\circ

b) Bestimmen Sie die Koordinaten von T.

Lösung: T(−2∣−2∣4)T(-2|-2|4)

Begründung:

Lösung: Die Dreiecke OPQ und OQK haben bezüglich der gemeinsamen Grundseite OQ die gleiche Höhe, da die Gerade durch P, Q und K parallel zur Grundseite OQ verläuft bzw. K auf der Geraden PQ liegt mit gleichem Abstand zu Q wie P, sodass die beiden Dreiecke flächengleich sind.

c) Begründen Sie, ohne zu rechnen, anhand einer geeigneten Skizze, dass die Flächeninhalte der Dreiecke OPQ und OQK übereinstimmen.

Lösung: Die Dreiecke OPQOPQ und OQKOQK haben die Seite OQ‾\overline{OQ} gemeinsam. Die Längen der Höhen bezüglich der Eckpunkte PP bzw. KK stimmen überein (da QQ der Mittelpunkt der Strecke PK‾\overline{PK} ist).

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