Aufgabe B2 - Differentialrechnung · Abitur NRW Mathematik LK · Haupttermin · CAS 2023

An einer Baustelle auf einer Autobahn bildet sich am Morgen oft ein Stau.

An einem bestimmten Tag beginnt der Stau um 06:00 Uhr und ist um 10:00 Uhr völlig verschwunden. Für diesen Tag lässt sich die momentane Änderungsrate der Staulänge vom Beginn bis zum Ende des Staus durch die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit

$$f(x) = x \cdot (8-5x) \cdot \left(1-\frac{x}{4}\right)^2$$ darstellen. Dabei steht $x$ für die seit 06:00 Uhr verstrichene Zeit in Stunden und $f(x)$ für die momentane Änderungsrate der Staulänge in Kilometern pro Stunde.

Im Sachzusammenhang spielt außer $f$ auch die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $s$ mit

$$s(x) = \left(\frac{x}{4}\right)^2 \cdot (4-x)^3$$ eine Rolle.

Teilaufgabe a)

(3)

Bestimmen Sie den Zeitpunkt des stärksten Anstiegs der Staulänge.

Zeigen Sie, dass die momentane Änderungsrate zu diesem Zeitpunkt einen Wert zwischen $2\,\frac{\text{km}}{\text{h}}$ und $3\,\frac{\text{km}}{\text{h}}$ besitzt.

(4)

Geben Sie an, zu welchem Zeitpunkt der Stau seine größte Länge erreicht. Begründen Sie Ihre Angabe.

Teilaufgabe b)

Gegeben ist die Funktionenschar $l_{a;b}$ mit Definitionsmenge $\mathbb{R}$ und

$$l_{a;b}(x) = 16 \cdot \frac{a}{b} \cdot x^2 \cdot \left(1 - \frac{x}{b}\right)^3 \quad \text{und } a, b \in \mathbb{R},\; a > 0,\; b > 0.$$

(1)

Bestimmen Sie in Abhängigkeit von $b$ die lokalen Extremstellen von $l_{a;b}$ sowie deren Art.

[Zur Kontrolle: Der Graph von $l_{a;b}$ besitzt nur einen lokalen Hochpunkt, und zwar an der Stelle $x = 0{,}4 \cdot b$.]

(4)

Um 06:40 Uhr aktiviert eine Mitarbeiterin der Verkehrszentrale mehrere computergesteuerte Verkehrszeichen (ein Leitsystem), die den Stau verkleinern sollen. Für die Zeit nach 06:40 Uhr gelten in der Modellierung dann die Parameter $a = 1{,}75$ und $b = 8$.

Berechnen Sie, um wie viel Prozent sich die vorhergesagte maximale Staulänge durch die Aktivierung des Leitsystems verringert.

%

(5)

Neben dem Leitsystem soll auch ein Polizeieinsatz den Stau abbauen. Ab 11:00 Uhr soll die Staulänge gleichmäßig mit derjenigen Änderungsrate abnehmen, die die Software für 11:00 Uhr voraussagt.

(i) Ermitteln Sie unter dieser Annahme mithilfe von Abbildung 2 grafisch, zu welchem Zeitpunkt der Stau aufgelöst sein wird.

(ii) Überprüfen Sie Ihr Ergebnis aus (i) rechnerisch.