Aufgabe 2 - Längen, Winkel und Abstände im Raum · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Analytische Geometrie (WTR 2023

Die Abbildung zeigt den Körper $ABCDEF$ mit $A(6|3|0)$, $B(0|6|0)$, $C(3|0|0)$, $D(6|3|6)$, $E(0|6|6)$ und $F(3|0|12)$.

b)

Bestimmen Sie die Größe des Winkels, den $L$ mit der $x_1x_2$-Ebene einschließt. [3 BE]

c)

Der Flächeninhalt des Dreiecks $ABC$ kann mit dem Term $6\cdot 6 - \frac{1}{2}\cdot 3\cdot 3 - 2\cdot \frac{1}{2}\cdot 3\cdot 6$ berechnet werden. Veranschaulichen Sie diese Tatsache durch geeignete Eintragungen in der Abbildung. [3 BE]

d)

Berechnen Sie das Volumen des Körpers $ABCDEF$. [3 BE]

f)

Auf der Kante $\overline{AD}$ liegt der Punkt $Q$, auf der Kante $\overline{BE}$ der Punkt $R(0|6|2)$. Das Dreieck $FQR$ hat in $Q$ einen rechten Winkel. Bestimmen Sie die $x_3$-Koordinate von $Q$. [5 BE]

g)

Der Körper wird so um die Gerade $AB$ gedreht, dass der mit $D$ bezeichnete Eckpunkt nach der Drehung in der $x_1x_2$-Ebene liegt und dabei eine positive $x_2$-Koordinate hat. Die folgenden Rechnungen liefern die Lösung einer Aufgabe im Zusammenhang mit der beschriebenen Drehung:

$$\begin{pmatrix} 6 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix} \circ \left[ \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \right] = 0 \iff \lambda = 0{,}8,\ \text{d. h.}\ S(4{,}8|3{,}6|0)$$

$$\vec{OT} = \vec{OS} + |\vec{CS}| \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$$

Formulieren Sie eine passende Aufgabenstellung und geben Sie die Bedeutung von $S$ an. [3 BE]