Aufgabe B1 - Integralrechnung · Abitur NRW Mathematik LK · Nachtermin · CAS 2023

Betrachtet wird die Funktion $f$ mit der Gleichung$$f(x) = (x + 0{,}5) \cdot (x - 0{,}5) \cdot \mathrm{e}^x, \quad x \in \mathbb{R}.$$

Gegeben ist eine Schar von Funktionen $g_a$ durch die Gleichung$$g_a(x) = (x + a) \cdot (x - a) \cdot \mathrm{e}^x, \quad x \in \mathbb{R}, \; a > 0.$$

Die Abbildung zeigt den Graphen der Funktion $g_1$.

Betrachtet wird die Funktion $h$ mit der Gleichung$$h(x) = (x - 1) \cdot x \cdot \mathrm{e}^{x - 0{,}5}, \quad x \in \mathbb{R}.$$

a) (4) (i)

Bestimmen Sie den Inhalt der Fläche $A$, die vom Graphen der Funktion $f$ und der Tangente $t$ begrenzt wird.

FE

a) (4) (ii)

Die Fläche $A$ erstreckt sich teilweise unter die $x$-Achse.

Bestimmen Sie, wie viel Prozent des Inhalts der Fläche $A$ auf diese Teilfläche entfallen.

%

b) (2)

Der Graph von $g_a$ und die $x$-Achse begrenzen eine Fläche, die von der $y$-Achse in zwei Teilflächen geteilt wird.

Untersuchen Sie, ob ein Parameter $a > 0$ existiert, für den die Teilfläche rechts der $y$-Achse doppelt so groß ist wie die Teilfläche links der $y$-Achse.