Aufgabe B1 - Funktionen und ihre Eigenschaften · Abitur NRW Mathematik GK · Haupttermin · GTR · Weiterbildungsk 2023

Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln

Aufgabenstellung:

a) Gegeben sind die in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $p: x \mapsto -x^2 - x + 1$ und $q: x \mapsto \mathrm{e}^{-x}$.

Die Graphen von $p$ und $q$ haben genau einen gemeinsamen Punkt; dieser Punkt liegt auf der $y$-Achse. Für die erste Ableitungsfunktion von $q$ gilt $q'(x) = -q(x)$.

b) Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $h: x \mapsto (x^2 - x - 1)\cdot \mathrm{e}^{-x}$.

c) Indem eine Schleuse geöffnet wird, nimmt ein Bewässerungskanal seinen Betrieb auf.

Die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $w: x \mapsto 4\cdot (x^2 - x - 1)\cdot \mathrm{e}^{-x} + 4$ gibt für $x \ge 0$ an, wie sich die momentane Durchflussrate des Wassers an einer Messstelle im Lauf der Zeit verändert. Hierbei steht $x$ für die Zeit in Sekunden, die seit Beginn der Beobachtung verstrichen ist, und $w(x)$ für die momentane Durchflussrate in Kubikmetern pro Sekunde.

Abbildung 2 zeigt den Graphen von $w$.

Im Folgenden dürfen Sie $w'(x) = (12x - 4x^2)\cdot \mathrm{e}^{-x}$ ohne Nachweis benutzen.

Teilaufgabe a(1)

(1)

Beschreiben Sie, auf welche Weise sich der Graph von $q'$ aus dem Graphen von $q$ gewinnen lässt.

Teilaufgabe c(1)

(1)

Es gilt $w(x) \to c$ für $x \to \infty$.

Geben Sie den Wert $c$ und dessen Bedeutung im Sachzusammenhang an.

c =