Aufgabe B4 · Abitur NRW Mathematik LK · Haupttermin · GTR · Weiterbildungsk 2023

Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln

Aufgabenstellung:

Ein Betrieb produziert Olivenöl und füllt dieses in Flaschen. Auf jeder Flasche ist eine Füllmenge von $600\text{ ml}$ angegeben.

Teilaufgabe a)

Je zwölf Flaschen werden zu einem Karton zusammengepackt. Ein Karton wird als fehlerhaft eingestuft, wenn in mehr als einer Flasche weniger als $600\text{ ml}$ Öl enthalten sind. Jede Flasche enthält mit einer Wahrscheinlichkeit von $1{,}5\,\%$ weniger als $600\text{ ml}$ Öl.

(1)

Im Sachzusammenhang ist die Rechnung $0{,}985^{12} \approx 83{,}4\,\%$ die Lösung einer Aufgabe. Formulieren Sie dazu eine passende Aufgabenstellung und erläutern Sie, wie die Rechnung angesetzt wird. [3 Punkte]

(2)

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass von $100$ Flaschen genau drei weniger als $600\text{ ml}$ Öl enthalten. [2 Punkte]

(3)

Die Flaschen werden nacheinander geöffnet und auf ihre Füllmenge geprüft. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass erst die vierte geöffnete Flasche die erste ist, die weniger als $600\text{ ml}$ Öl enthält. [2 Punkte]

(4)

Ein Supermarkt bekommt regelmäßig stets gleich viele Flaschen geliefert. Im Mittel enthalten davon mehr als $780$ Flaschen mindestens $600\text{ ml}$ Öl. Ermitteln Sie, wie viele Flaschen eine solche Lieferung mindestens umfasst. [3 Punkte]

(5)

Ein Supermarkt wird mit $150$ Kartons beliefert. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als $3\,\%$ dieser Kartons fehlerhaft sind. [4 Punkte]

Teilaufgabe b)

Für die Füllmenge der Flaschen wird eine Normalverteilung mit dem Erwartungswert $600{,}5\text{ ml}$ und der Standardabweichung $0{,}23\text{ ml}$ angenommen.

(1)

Es wird zufällig eine Flasche gewählt. Ermitteln Sie jeweils die Wahrscheinlichkeit der folgenden Ereignisse: [3 Punkte]

A: „Die Flasche enthält mehr als $601\text{ ml}$ Öl.“

B: „Die Füllmenge der Flasche weicht höchstens um $0{,}5\text{ ml}$ vom Erwartungswert ab.“

(2)

Eine Füllmenge kann nicht negativ sein. Die für die Füllmenge verwendete Normalverteilung ist aber auch für negative reelle Zahlen definiert und liefert dort nur positive Werte. Begründen Sie, warum es trotzdem sinnvoll ist, die Normalverteilung zu verwenden. [2 Punkte]

(3)

Der Betrieb will erreichen, dass seltener weniger als $600\text{ ml}$ Öl in eine Flasche gefüllt werden. Für die dazu nötige Änderung an der Abfüllmaschine liegen zwei Vorschläge vor:

Vorschlag 1: Die eingestellte Füllmenge von $600{,}5\text{ ml}$ wird vergrößert.

Vorschlag 2: Die Maschine erreicht die eingestellte Füllmenge von $600{,}5\text{ ml}$ künftig genauer.

Der Erwartungswert der Zufallsgröße ist immer die eingestellte Füllmenge.

Die Abbildungen 1 und 2 zeigen jeweils den Graphen der Dichtefunktion, die vor der Änderung der Maschine die Füllmenge der Flaschen beschreibt.

Skizzieren Sie in Abbildung 1 einen möglichen Graphen der Dichtefunktion nach Umsetzung von Vorschlag 1 und in Abbildung 2 einen passenden Graphen für Vorschlag 2. [6 Punkte]

Begründen Sie anhand Ihrer Skizzen für jeden der beiden Vorschläge, dass das Ziel des Betriebs damit erreicht wird.