Aufgabe B4 - Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeit… · Abitur NRW Mathematik GK · Nachtermin · CAS · Weiterbildungsko 2023

Mit Systemen zur Gesichtserkennung lassen sich Personen auf Fotos, in Videoaufnahmen oder live identifizieren. Das System gleicht dazu bestimmte Gesichtsmerkmale mit bereits vorliegenden Fotos ab. Ist die Ähnlichkeit ausreichend hoch, bewertet das System zwei Gesichter als dieselbe Person.

Zur Überprüfung einer Gesichtserkennungssoftware werden Aufnahmen von Freiwilligen verwendet. Von einem Teil dieser Freiwilligen liegen Fotos in einer Datenbank vor; sie heißen im Folgenden Zielpersonen. Freiwillige, deren Fotos nicht in der Datenbank abgelegt sind, bezeichnet man als Kontrollpersonen.

In einer Testphase vergleicht die Software Videoaufnahmen einzelner Personen (Zielpersonen ebenso wie Kontrollpersonen) mit den in der Datenbank gespeicherten Fotos.

b) Für eine Werbebroschüre will die Softwarefirma Angaben zur Güte ihrer Gesichtserkennungssoftware sammeln. Hierfür sind Wahrscheinlichkeiten bestimmter Ereignisse erforderlich. Unter anderem wird angenommen, dass wie in der Testphase die Trefferwahrscheinlichkeit $80\,\%$ beträgt.

(1)

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit für das folgende Ereignis:

Unter 50 zufällig gewählten Videos von Zielpersonen stuft die Software in mehr als 40 Videos die gezeigte Person korrekt als Zielperson ein.

(2)

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei 100 zufällig gewählten Videos von Zielpersonen die Anzahl der Videos mit korrekter Einstufung der gezeigten Person als Zielperson höchstens um 1,5 Standardabweichungen vom Erwartungswert abweicht.

(3)

Bestimmen Sie die kleinste Anzahl zufällig gewählter Videos von Zielpersonen, die die Software mit der Datenbank abgleichen muss, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $95\,\%$ in mindestens zehn dieser Videos die gezeigte Person korrekt als Zielperson erkannt wird.

d)

Ermitteln Sie die minimale Trefferwahrscheinlichkeit – in Prozent ohne Nachkommastelle –, die eine Gesichtserkennungssoftware haben muss, damit sie mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $95\,\%$ in mindestens 90 von 100 zufällig gewählten Videos von Zielpersonen die gezeigte Person korrekt als Zielperson erkennt.

%