Aufgabe B4 - Binomialverteilung · Abitur NRW Mathematik GK · Nachtermin · CAS 2023

Aufgabenstellung

Mit Gesichtserkennungssystemen lassen sich Personen auf Fotos, in Videos oder live identifizieren. Das System gleicht dazu bestimmte Gesichtsmerkmale mit bereits vorhandenen Fotos ab. Ist die Übereinstimmung ausreichend hoch, bewertet das System zwei Gesichter als dieselbe Person.

Eine Gesichtserkennungssoftware wird anhand von Aufnahmen freiwilliger Personen getestet. Von einem Teil dieser Personen liegen Fotos in einer Datenbank vor; sie heißen im Folgenden Zielpersonen. Freiwillige, deren Fotos nicht in der Datenbank abgelegt sind, bezeichnet man als Kontrollpersonen.

Während einer Testphase vergleicht die Software Videos einzelner Personen (Zielpersonen und Kontrollpersonen) mit den Fotos der Datenbank.

In der Testphase erkennt die Software eine Zielperson in einem Video mit einer Wahrscheinlichkeit von $80\,\%$ korrekt als Zielperson. Diese Wahrscheinlichkeit heißt im Folgenden Trefferwahrscheinlichkeit.

Eine Kontrollperson wird mit einer Wahrscheinlichkeit von $0{,}1\,\%$ irrtümlich als Zielperson klassifiziert.

Auf $10\,\%$ der in der Testphase genutzten Videos sind Zielpersonen zu sehen.

Teilaufgabe b

Für eine Werbebroschüre will die Softwarefirma Aussagen über die Güte ihrer Gesichtserkennungssoftware sammeln. Hierfür sind Wahrscheinlichkeiten bestimmter Ereignisse erforderlich. Unter anderem wird angenommen, dass die Trefferwahrscheinlichkeit wie in der Testphase 80 % beträgt.

b) (1)

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit für das folgende Ereignis:

Unter 50 zufällig ausgewählten Videos von Zielpersonen stuft die Software in mehr als 40 Videos die gezeigte Person richtig als Zielperson ein.

b) (2)

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich bei 100 zufällig ausgewählten Videos von Zielpersonen die Anzahl der richtig als Zielperson eingestuften Videos um höchstens 1,5 Standardabweichungen vom Erwartungswert unterscheidet.

b) (3)

Bestimmen Sie die Mindestanzahl zufällig ausgewählter Videos von Zielpersonen, die die Software mit der Datenbank abgleichen muss, damit in mindestens zehn dieser Videos mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 95 % die gezeigte Person richtig als Zielperson eingestuft wird.

Teilaufgabe d

d)

Ermitteln Sie die minimale Trefferwahrscheinlichkeit – in Prozent ohne Nachkommastelle –, die eine Gesichtserkennungssoftware haben muss, damit sie bei 100 zufällig ausgewählten Videos von Zielpersonen mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 95 % in mindestens 90 Videos die gezeigte Person richtig als Zielperson einstuft.

%