Aufgabe 2 - Geraden und Ebenen · Abitur NRW Mathematik GK · Teil B · Analytische Geometrie (CAS 2023

Thema: Geraden und Ebenen: Gleichungen und Lagebeziehungen · Aus der Prüfung GK · Teil B · Analytische Geometrie (CAS) (2023)

Aufgabenstellung

Die Abbildung zeigt den Körper ABCDEFABCDEF. Die Eckpunkte A(4∣0∣0)A(4|0|0), B(0∣4∣0)B(0|4|0) und C(0∣0∣4)C(0|0|4) liegen in der Ebene L1:x+y+z=4L_1: x + y + z = 4, die Eckpunkte DD, EE und FF jeweils auf einer Koordinatenachse und in der Ebene L2:2x+2y+2z=5L_2: 2x + 2y + 2z = 5.

b)

Begründen Sie, dass L1L_1 und L2L_2 keine gemeinsamen Punkte haben.

Aufgabenstellung: Aufgabe 2 - Geraden und Ebenen · Abitur NRW Mathematik GK · Teil B · Analytische Geometrie (CAS 2023

Lösung

Lösung von AprenAI (nicht die offizielle)

b) Begründen Sie, dass L1L_1 und L2L_2 keine gemeinsamen Punkte haben.

Lösung: Die Normalenvektoren beider Ebenen sind kollinear (z. B. n⃗1=(111)\vec{n}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} und n⃗2=(222)=2n⃗1\vec{n}_2 = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} = 2\vec{n}_1), weshalb die Ebenen parallel sind. Multipliziert man die Ebenengleichung von L1L_1 mit 2, erhält man 2x+2y+2z=82x + 2y + 2z = 8. Da 8≠58 \neq 5 ist, besitzen L1L_1 und L2L_2 keine gemeinsamen Punkte (sie sind echt parallel).

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