Aufgabe B1 - Differentialrechnung · Abitur NRW Mathematik LK · Haupttermin · CAS · Weiterbildungsk 2023

Thema: Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte · Aus der Prüfung LK · Haupttermin · CAS · Weiterbildungskolleg (2023)

Aufgabenstellung

Aufgabenstellung:

Betrachtet wird die Funktion $f$ mit der Gleichung

$f(x) = (x^3 - 5) \cdot \mathrm{e}^x, \quad x \in \mathbb{R}.$

Abbildung 1 zeigt den Graphen von $f$ .

Betrachtet wird die Schar der auf $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_k$ mit der Funktionsgleichung

$f_k(x) = (x^3 + k) \cdot \mathrm{e}^x \quad \text{mit } k \in \mathbb{R}.$

Die Funktion $f_{-5}$ ist identisch mit der Funktion $f$ .

Teilaufgabe a)

a) (1)

Berechnen Sie die Tangentengleichung für den Graphen von $f$ im Punkt $P(-1|f(-1))$ ; Werte oder Zusammenhänge, die aus Funktionsgraphen abgelesen wurden, dürfen dabei nicht benutzt werden.

a) (2)

Der Graph von $f$ hat genau eine Extremstelle und drei Wendestellen. Berechnen Sie die Wendestellen von $f$ und runden Sie auf drei Nachkommastellen.

a) (3)

Für $z>0$ ist $P_z(z|f(z))$ ein Punkt auf dem Graphen von $f$ . Er bildet zusammen mit dem Koordinatenursprung $O(0|0)$ und dem Punkt $Q_z(z|0)$ ein Dreieck $OP_zQ_z$ . Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks $OP_zQ_z$ , wenn für $P_z$ der Tiefpunkt des Graphen von $f$ gewählt wird.

Teilaufgabe c)

Gegeben ist die Schar der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_k$ durch die Funktionsgleichung $f_k(x) = (x^3+k)\cdot e^x \text{ mit } k \in \mathbb{R}.$ Die Funktion $f_{-5}$ stimmt mit der Funktion $f$ überein. Die folgende Abbildung 4 zeigt drei Graphen der Schar $G_I, G_{II}, G_{III}$ für drei verschiedene Parameter $k_I, k_{II}, k_{III}$ .

c) (1)

Geben Sie die Parameter an, die zu den Graphen gehören.

c) (2)

Begründen Sie, dass jede Scharfunktion $f_k$ genau eine Nullstelle besitzt.

Für die Ableitungsfunktion $f_k'$ gilt: $f_k'(x) = (x^3+3x^2+k)\cdot e^x, \ x \in \mathbb{R}; k \in \mathbb{R}.$

c) (3)(i)

Wie die Anzahl der Extremstellen von $f_k$ vom Parameter $k$ abhängt, soll untersucht werden, indem die Funktion $h_k$ mit $h_k(x)=x^3+3x^2+k$ auf Nullstellen betrachtet wird. Abbildung 5 zeigt den Graphen von $h_0$ (also $k=0$ ). Geben Sie mithilfe von Abbildung 5 an, wie viele Nullstellen $h_k$ je nach Parameter $k$ hat. (Die Nullstellen sollen nicht mit dem Taschenrechner berechnet werden.)

c) (3)(ii)

Begründen Sie, dass die folgenden drei Aussagen richtig sind:

Aufgabenstellung: Aufgabe B1 - Differentialrechnung · Abitur NRW Mathematik LK · Haupttermin · CAS · Weiterbildungsk 2023

Lösung

Nach den offiziellen Korrekturhinweisen

Berechnen Sie die Tangentengleichung für den Graphen von f im Punkt P(-1|f(-1)); Werte oder Zusammenhänge, die aus Funktionsgraphen abgelesen wurden, dürfen dabei nicht benutzt werden.

Lösung: $y = -3\cdot e^{-1}\cdot(x+1) - 6\cdot e^{-1}$ (oder $y = -3\cdot e^{-1}\cdot x - 9\cdot e^{-1}$ )

Berechnen Sie die Wendestellen von f und runden Sie auf drei Nachkommastellen ( $x_{W1}$ ).

Lösung: $x_{W1} \approx -4{,}361$

Berechnen Sie die Wendestellen von f und runden Sie auf drei Nachkommastellen ( $x_{W2}$ ).

Lösung: $x_{W2} \approx -2{,}167$

Berechnen Sie die Wendestellen von f und runden Sie auf drei Nachkommastellen ( $x_{W3}$ ).

Lösung: $x_{W3} \approx 0{,}529$

Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks $OP_zQ_z$ , wenn $P_z$ der Tiefpunkt des Graphen von f ist.

Lösung: $A_{Dreieck} \approx 6{,}05$ FE

Geben Sie die Parameter an, die zu den Graphen gehören ( $k_I$ ).

Lösung: $k_I = 2$

Geben Sie die Parameter an, die zu den Graphen gehören ( $k_{II}$ ).

Lösung: $k_{II} = 0$

Geben Sie die Parameter an, die zu den Graphen gehören ( $k_{III}$ ).

Lösung: $k_{III} = -4$

Begründen Sie, dass jede Scharfunktion $f_k$ genau eine Nullstelle besitzt.

Lösung: $f_k(x)=0 \Leftrightarrow x^3=-k$ , da $e^x \neq 0$ für alle $x \in \mathbb{R}$ . Die Gleichung hat für alle $k \in \mathbb{R}$ genau eine Lösung: $x=-\sqrt[3]{k}$ für $k\geq 0$ bzw. $x=\sqrt[3]{-k}$ für $k<0$ .

Geben Sie mithilfe von Abbildung 5 an, wie viele Nullstellen $h_k$ für $k=0$ oder $k=-4$ hat.

Lösung: Genau zwei Nullstellen

Geben Sie anhand von Abbildung 5 die Anzahl der Nullstellen der Funktion $h_k$ für $k>0$ oder $k<-4$ an.

Lösung: Genau eine Nullstelle

Geben Sie anhand von Abbildung 5 die Anzahl der Nullstellen der Funktion $h_k$ für $-4<k<0$ an.

Lösung: Genau drei Nullstellen

Begründen Sie die Richtigkeit der Aussage S1: Für jedes $k>0$ hat die Funktion $f_k$ genau eine Extremstelle.

Lösung: Für $k>0$ hat die Funktion $h_k$ und damit auch $f_k'$ genau eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel. $f_k$ hat daher genau eine Extremstelle.

Begründen Sie, dass die Aussage S2 richtig ist: Es gibt keine Funktion $f_k$ , die mehr als drei Extremstellen hat.

Lösung: Die Funktion $h_k$ kann als Polynomfunktion vom Grad 3 maximal drei Nullstellen haben. Wegen der notwendigen Bedingung $f_k'(x)=0$ für Extremstellen kann es nicht mehr als drei Extremstellen für die Funktion $f_k$ geben.

Begründen Sie, dass die Aussage S3 richtig ist: Es gibt keine Funktion $f_k$ , die genau zwei Extremstellen hat.

Lösung: Die Funktion $h_k$ hat nur für $k=0$ oder $k=-4$ zwei Nullstellen. Dabei handelt es sich um eine Nullstelle mit und eine Nullstelle ohne Vorzeichenwechsel. Deshalb gibt es in diesen Fällen nur eine Extremstelle und eine Sattelstelle für die Funktion $f_k$ .

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