Aufgabe 1 - Geraden und Ebenen · Abitur NRW Mathematik GK · Teil B · Analytische Geometrie (CAS 2023

Ein Anbau eines Gebäudes wird modellhaft durch das abgebildete Prisma mit den Eckpunkten $A(0|0|0)$, $B(5|0|0)$, $C(5|4|0)$, $D(0|4|0)$, $E(0|0|4)$, $F(5|0|4)$, $G(5|3|3)$ und $H(0|3|3)$ beschrieben. Das Viereck EFGH stellt das Glasdach dar, das Viereck ABFE eine geschlossene Wand; die anderen Seiten des Anbaus bestehen vollständig aus Glas.

Die Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Realität. Die $x_1x_2$-Ebene beschreibt den Untergrund, auf dem der Anbau steht.

Auf dem Glasdach kann ein Rollo herabgelassen werden. Dabei bewegt sich das Rollo innerhalb einer Minute von der oberen Kante des Dachs, die durch $\overline{EF}$ dargestellt wird, bis zur unteren Kante des Dachs.

Zu einem bestimmten Zeitpunkt kann das auf den Anbau treffende Sonnenlicht durch parallele Geraden mit dem Richtungsvektor $\begin{pmatrix}1\\-1\\-2\end{pmatrix}$ beschrieben werden.

b

Die Ebene $L$, in der die Punkte $A$, $B$ und $G$ liegen, kann durch eine Gleichung der Form $r \cdot x_2 + s \cdot x_3 = t$ dargestellt werden.

Bestimmen Sie passende Werte für $r$, $s$ und $t$. [3 BE]

$r =$

$s =$

$t =$

g

Die geschlossene Wand sowie der Schatten, den das vollständig herabgelassene Rollo auf dieser Wand erzeugt, sollen – in Form einer gesonderten zweidimensionalen Zeichnung – in der $x_1x_3$-Ebene grafisch dargestellt werden. Die folgende Rechnung stellt einen wesentlichen Schritt zur Lösung dieser Aufgabe dar:

$$\begin{pmatrix}x_1\\0\\x_3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\3\\3\end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix}1\\-1\\-2\end{pmatrix} \text{ liefert } \mu = 3 \text{ und damit } (3|0|-3).$$

Beschreiben Sie die Bedeutung dieses Lösungsschritts und fertigen Sie die angestrebte Zeichnung an. [5 BE]