Aufgabe B1 - Integralrechnung · Abitur NRW Mathematik GK · Haupttermin · GTR 2023

Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln

Funktionen $p$, $q$ und $h$

Betrachtet werden die auf $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $p: x \mapsto -x^2 - x + 1$ und $q: x \mapsto \mathrm{e}^{-x}$.

Es gibt genau einen Punkt, den die Graphen von $p$ und $q$ gemeinsam haben, und er befindet sich auf der $y$-Achse. Die erste Ableitung von $q$ erfüllt $q'(x) = -q(x)$.

Außerdem sei die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $h: x \mapsto (x^2 - x - 1) \cdot \mathrm{e}^{-x}$ gegeben.

Modellierung des Bewässerungskanals (Funktion $w$)

Ein Bewässerungskanal nimmt seinen Betrieb auf, indem eine Schleuse geöffnet wird.

Die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $w: x \mapsto 4 \cdot (x^2 - x - 1) \cdot \mathrm{e}^{-x} + 4$ modelliert für $x \ge 0$, wie sich die momentane Durchflussrate des Wassers an einer Messstelle im Lauf der Zeit verändert. Dabei steht $x$ für die Zeit in Sekunden seit Beginn der Beobachtung und $w(x)$ für die momentane Durchflussrate in Kubikmetern pro Sekunde.

a) (3)

Geben Sie den Wert des Integrals $\int_0^2 (q(x) - p(x))\,\mathrm{d}x$ an und interpretieren Sie dessen Bedeutung in geometrischer Hinsicht.

b) (1)

Bestimmen Sie den Inhalt der Fläche, die vom Graphen von $h$ und der $x$-Achse begrenzt wird.

c) (4) (i)

Bestimmen Sie, welche Wassermenge in den ersten zwei Sekunden nach Beobachtungsbeginn die Messstelle passiert.

c) (4) (ii)

Die Gleichung $\int_t^{t+3} w(x)\,\mathrm{d}x = 13$ besitzt für $t \ge 0$ die Lösungen $t_1 \approx 0{,}8$ und $t_2 \approx 4{,}4$. Interpretieren Sie, was diese beiden Lösungen im Sachzusammenhang bedeuten.