Aufgabe B3 - Teilaufgabe b · Abitur NRW Mathematik LK · Haupttermin · GTR · Weiterbildungsk 2023

Aufgabenstellung:

Der Körper $K$ in Abbildung 1 besitzt die Eckpunkte $A_1$, $A_2$, $A_3$, $A_4$, $B_1$, $B_2$, $B_3$ und $B_4$ und weist die folgenden Merkmale auf:

$A_1A_2A_3A_4$ ist ein Rechteck, das in der $x_1x_2$-Ebene liegt; $B_1B_2B_3B_4$ ist ein Rechteck in einer Ebene parallel zur $x_1x_2$-Ebene. Die Vierecke $A_2A_3B_3B_2$ und $A_1A_4B_4B_1$ befinden sich in Ebenen, die zur $x_1x_3$-Ebene parallel sind.

Für sechs der Eckpunkte gilt:

$A_1(50 \mid -5 \mid 0)$,

$A_2(50 \mid 5 \mid 0)$,

$A_3\left(\frac{\sqrt{75}}{3} \;\middle|\; 5 \;\middle|\; 0\right)$,

$A_4\left(\frac{\sqrt{75}}{3} \;\middle|\; -5 \;\middle|\; 0\right)$,

$B_2(10 \mid 5 \mid 30)$,

$B_3\left(\frac{\sqrt{75}}{3} \;\middle|\; 5 \;\middle|\; 30\right)$.

Durch $$E_a: \vec{x} = \begin{pmatrix} 50-a \\ 5 \\ 0{,}75\cdot a \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -10 \\ 0 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix},\quad a\in\mathbb{R},\; r,s\in\mathbb{R},$$ definiert eine Schar paralleler Ebenen. Im Weiteren wird der Boden eines jeden Balkons als Fläche in einer passenden Ebene dieser Schar modelliert. So liegt etwa der Boden des Balkons der 3. Etage in der Ebene $E_{12}$.

(1)

Zeigen Sie: Der Punkt $(50-a\mid 5\mid 0{,}75\cdot a)$ liegt für jeden Wert von $a$ mit $0 \le a \le 40$ auf der Strecke $\overline{A_2B_2}$.

(2)

Sämtliche Punkte der Bodenfläche des Balkons der 3. Etage werden durch die Parametergleichung

$$\vec{x} = \begin{pmatrix} 38 \\ 5 \\ 9 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -10 \\ 0 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix},\quad 0\le r\le 1,\; 0\le s\le 3,$$

erfasst.

Wie in Abbildung 3 zu sehen ist, ruht der Balkon auf zwei senkrechten Stützen $s_1$ und $s_2$.

Berechnen Sie, wie lang die Stütze $s_1$ ist.