Aufgabe B1 - Differentialrechnung · Abitur NRW Mathematik LK · Nachtermin · CAS 2023

Thema: Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte · Aus der Prüfung LK · Nachtermin · CAS (2023)

Aufgabenstellung

Betrachtet wird die Funktion $f$ mit der Gleichung $f(x) = (x + 0{,}5) \cdot (x - 0{,}5) \cdot \mathrm{e}^x, \quad x \in \mathbb{R}.$

Gegeben ist eine Schar von Funktionen $g_a$ durch die Gleichung $g_a(x) = (x + a) \cdot (x - a) \cdot \mathrm{e}^x, \quad x \in \mathbb{R}, \; a > 0.$

Die Abbildung zeigt den Graphen der Funktion $g_1$ .

Betrachtet wird die Funktion $h$ mit der Gleichung $h(x) = (x - 1) \cdot x \cdot \mathrm{e}^{x - 0{,}5}, \quad x \in \mathbb{R}.$

Teilaufgabe a)

a) (1)

Der Graph von $f$ besitzt zwei lokale Extrempunkte.

Bestimmen Sie die Koordinaten dieser beiden Punkte.

Hochpunkt:

$E_1($

$|$

$)$

Tiefpunkt:

$E_2($

$|$

$)$

a) (2)

Untersuchen Sie $f$ rechnerisch auf Wendestellen, wobei Sie keine aus Funktionsgraphen entnommenen Werte oder Zusammenhänge heranziehen dürfen, und berechnen Sie anschließend die Koordinaten der Wendepunkte des Graphen von $f$ .

Erster Wendepunkt:

$W_1($

$|$

$)$

Zweiter Wendepunkt:

$W_2($

$|$

$)$

a) (3)

Zeigen Sie rechnerisch, dass $t: y = -e^{-1,5} \cdot x + 0,5 \cdot e^{-1,5}$ die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $(-1,5 \mid f(-1,5))$ ist.

Teilaufgabe b)

b) (1) (i)

Zeigen Sie:

Der Graph jeder Funktion der Schar besitzt genau einen Hochpunkt sowie genau einen Tiefpunkt.

b) (1) (ii)

Zeigen Sie:

Sämtliche Extrempunkte der Graphen der Schar liegen auf dem Graphen der Funktion $o$ mit $o(x) = -2 \cdot x \cdot e^x$ .

b) (3) (i)

Für $-a < z < a$ spannen die Punkte $P(-a \mid 0)$ , $Q_z(z \mid g_a(z))$ und $R_z(z \mid 0)$ das Dreieck $PQ_zR_z$ auf.

Begründen Sie, dass der Flächeninhalt $B_a$ des Dreiecks $PQ_zR_z$ in Abhängigkeit von $z$ mit der Gleichung

$B_a(z) = -0,5 \cdot (z + a)^2 \cdot (z - a) \cdot e^z$

berechnen lässt.

b) (3) (ii)

Bestimmen Sie für $a = 1$ den größtmöglichen Flächeninhalt des Dreiecks $PQ_zR_z$ .

Aufgabenstellung: Aufgabe B1 - Differentialrechnung · Abitur NRW Mathematik LK · Nachtermin · CAS 2023

Lösung

Nach den offiziellen Korrekturhinweisen

a) (1) x-Koordinate des Hochpunkts E_1

Lösung: -2,12

a) (1) y-Koordinate des Hochpunkts E_1

Lösung: 0,51

a) (1) x-Koordinate des Tiefpunkts E_2

Lösung: 0,12

a) (1) y-Koordinate des Tiefpunkts E_2

Lösung: -0,27

a) (2) Rechnerische Untersuchung auf Wendestellen

Lösung: Aus der notwendigen Bedingung f''(x) = 0 folgt x = -7/2 oder x = -1/2. An beiden Stellen liegt ein Vorzeichenwechsel von f'' vor (z. B. f''(-4) > 0, f''(-3) < 0 und f''(0) > 0).

a) (2) x-Koordinate des ersten Wendepunkts W_1

Lösung: -3,5 / -7/2

a) (2) y-Koordinate des ersten Wendepunkts W_1

Lösung: 12*e^(-7/2) / 0,36

a) (2) x-Koordinate des zweiten Wendepunkts W_2

Lösung: -0,5 / -1/2

a) (2) y-Koordinate des zweiten Wendepunkts W_2

Lösung: 0

a) (3) Zeigen Sie rechnerisch, dass t die Tangente an den Graphen von f im Punkt (-1,5 | f(-1,5)) ist

Lösung: f'(-1,5) = -e^(-1,5), f(-1,5) = 2*e^(-1,5). Einsetzen in t(-1,5) ergibt -e^(-1,5)*(-1,5) + 0,5*e^(-1,5) = 2*e^(-1,5) = f(-1,5).

b) (1) (i) Zeigen Sie: Der Graph jeder Funktion der Schar besitzt genau einen Hochpunkt sowie genau einen Tiefpunkt

Lösung: g_a'(x) = 0 liefert x_1 = -1 + sqrt(1 + a^2) und x_2 = -1 - sqrt(1 + a^2). Da a > 0, ist 1 + a^2 > 1, somit existieren genau zwei verschiedene Nullstellen. Mit g_a''(-1+sqrt(1+a^2)) > 0 (Tiefpunkt) und g_a''(-1-sqrt(1+a^2)) < 0 (Hochpunkt).

b) (1) (ii) Zeigen Sie: Sämtliche Extrempunkte der Graphen der Schar liegen auf dem Graphen der Funktion o mit o(x) = -2*x*e^x

Lösung: Aus x = -1 ± sqrt(1+a^2) folgt a^2 = (x+1)^2 - 1 = x^2 + 2x. Einsetzen in g_a(x) = (x^2 - a^2)*e^x ergibt (x^2 - (x^2 + 2x))*e^x = -2*x*e^x = o(x).

b) (3) (i) Begründen Sie, dass sich der Flächeninhalt B_a des Dreiecks PQ_zR_z mit der Gleichung B_a(z) = -0,5*(z+a)^2*(z-a)*e^z berechnen lässt

Lösung: Das Dreieck besitzt bei R einen rechten Winkel. Kathete 1 hat die Länge z - (-a) = z + a. Da g_a(z) < 0 für -a < z < a, ist Kathete 2 gegeben durch |g_a(z)| = -(z+a)(z-a)*e^z. Für die Fläche gilt 0,5 * Grundseite * Höhe.

b) (3) (ii) Bestimmen Sie für a = 1 den größtmöglichen Flächeninhalt des Dreiecks PQ_zR_z

Lösung: 0,937

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