Aufgabe A2 - d · Abitur NRW Mathematik LK · Haupttermin · CAS 2023

Gegeben ist die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit der Gleichung $f(x) = \mathrm{e}^{\left(x^2\right)}$.

d) Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f: x \mapsto -x^2 + 2ax$ mit $a \in \mathbb{R}$, $a > 1$. Die Nullstellen von $f$ sind $0$ und $2a$.

(1)

Zeigen Sie, dass die Fläche, die vom Graphen von $f$ und der $x$-Achse begrenzt wird, den Inhalt $\frac{4}{3}a^3$ besitzt. [2 Punkte]

(2)

Der Hochpunkt des Graphen von $f$ befindet sich auf einer Seite eines Quadrats, von dem zwei Seiten auf den Koordinatenachsen liegen (vgl. Abbildung 2).

Das Quadrat hat den gleichen Flächeninhalt wie die Fläche, die vom Graphen von $f$ und der $x$-Achse eingeschlossen wird.

Bestimmen Sie, welchen Wert $a$ annimmt. [3 Punkte]