Aufgabe B2 - Integralrechnung · Abitur NRW Mathematik GK · Nachtermin · CAS · Weiterbildungsko 2023

Aufgabenstellung:

In Abbildung 1 ist eine Holzliege zu sehen, deren geschwungene Liegefläche auf zwei Seitenteilen ruht. Für die Seitenteile wird Holz der Dicke $4\text{ cm}$ verwendet. Ein Volumen von $1\text{ cm}^3$ dieses Holzes besitzt eine Masse von $0{,}75\text{ g}$.

Abbildung 2 stellt den Längsschnitt eines Seitenteils dieser Liege als Modell dar. Dabei wird der obere Rand vom Graphen einer Funktion $g$ und der untere Rand vom Graphen einer Funktion $h$ beschrieben.

Der obere Rand wird in einem geeigneten Intervall durch den Graphen der Funktion $g$ beschrieben; dabei gilt:

$$g(x) = \frac{2}{3}x^3 - 3x^2 + 4x - \frac{7}{10}, \quad x \in \mathbb{R}.$$ In der Realität steht eine Längeneinheit des Modells für $40\text{ cm}$.

Bei dem Versuch, die Form der Liege zu optimieren, wurde festgestellt, dass es besser ist, die Form der Liegefläche im Kopfbereich gerade zu gestalten. Deshalb wird nun für $x \ge 2{,}4$ der Graph der Funktion $g$ durch die Tangente $t$ an den Graphen von $g$ im Punkt $P(2{,}4 \mid g(2{,}4))$ ersetzt (siehe Abbildung 3).

Die Tangente hat die Gleichung $t: y = 1{,}12x - 1{,}852$.

c) (2)

Ermitteln Sie den Inhalt der schraffierten Fläche (siehe Abbildung 3) und geben Sie dabei die dazu nötigen Integrale an.

[Zur Kontrolle: Die schraffierte Fläche hat einen Inhalt von etwa 1,25 FE.]

c) (3)

Berechnen Sie die Masse eines Seitenteils der Liege in ihrer optimierten Form.