Aufgabe B5 - Integralrechnung · Abitur NRW Mathematik LK · Haupttermin · CAS 2023

Aufgabenstellung:

Abbildung 1 stellt vereinfacht die achsensymmetrische Seitenansicht einer Hängebrücke dar. Zwischen den beiden senkrechten Pfeilern beträgt der Abstand $400\text{ m}$. Die Fahrbahn befindet sich $20\text{ m}$ über der Wasseroberfläche.

Durch die beiden Pfeiler wird die Brücke in einen linken, einen mittleren und einen rechten Teil unterteilt. Jeweils am oberen Pfeilerende sind das Tragseil des mittleren Teils und das Abspannseil des linken bzw. rechten Teils angebracht. Die Abspannseile sind jeweils am Fahrbahnende verankert.

Im zugrunde gelegten Koordinatensystem steht eine Längeneinheit für $10\text{ m}$ in der Wirklichkeit. In der Seitenansicht liegt die $x$-Achse auf der waagerechten Fahrbahn, die $y$-Achse auf der Symmetrieachse.

Für den rechten Brückenabschnitt wird der Verlauf des Abspannseils modellhaft durch den Funktionsterm

$$r(x) = \frac{253}{100} \cdot \left(e^{\frac{1}{11}(32-x)} - 1\right)$$

beschrieben.

a)(5)

In der Seitenansicht schließen der rechte Pfeiler, das dazugehörige Abspannseil und die Fahrbahn ein Flächenstück ein.

Ermitteln Sie den tatsächlichen Flächeninhalt dieses Stücks.

Im mittleren Brückenabschnitt verbinden senkrecht verlaufende Halteseile die Fahrbahn mit dem Tragseil. Zu den Pfeilern und untereinander beträgt ihr horizontaler Abstand jeweils $16\text{ m}$. Den Verlauf des Tragseils beschreibt modellhaft die Funktion

$$s(x) = \left(\frac{1}{8}\right)^6 \cdot \left(x^4 + 2560x^2\right) + \frac{125}{256}$$

beschrieben.

b)(4)

Geben Sie an, was der Term

$$(s(-20 + 1{,}6 \cdot 1) + s(-20 + 1{,}6 \cdot 2) + \dots + s(-20 + 1{,}6 \cdot 23) + s(-20 + 1{,}6 \cdot 24)) \cdot 10$$

an, welche Bedeutung er im Sachzusammenhang hat, und begründen Sie Ihre Angabe.