Aufgabe c · Abitur NRW Mathematik LK · Haupttermin · GTR · Weiterbildungsk 2023

Thema: Graphen von f, f′ und F deuten · Aus der Prüfung LK · Haupttermin · GTR · Weiterbildungskolleg (2023)

Aufgabenstellung

Gegeben ist eine in R\mathbb{R} definierte, nicht lineare ganzrationale Funktion ff mit der ersten Ableitungsfunktion f′f' und der zweiten Ableitungsfunktion f′′f''. Sie besitzt diese Eigenschaften:

ff hat bei x1x_1 eine Nullstelle.

Es gilt f′(x2)=0f'(x_2)=0 und f′′(x2)≠0f''(x_2) \neq 0.

f′f' hat ein Minimum an der Stelle x3x_3.

Abbildung 1 zeigt die Positionen von x1x_1, x2x_2 und x3x_3.

(1)

Begründen Sie, dass ff mindestens den Grad 3 besitzt. [2 Punkte]

(2)

Skizzieren Sie in Abbildung 1 einen denkbaren Verlauf des Graphen von ff. [3 Punkte]

Aufgabenstellung: Aufgabe c · Abitur NRW Mathematik LK · Haupttermin · GTR · Weiterbildungsk 2023

Lösung

Nach den offiziellen Korrekturhinweisen

(1) Begründen Sie, dass f mindestens den Grad 3 besitzt.

Lösung: Da f′f' an der Stelle x3x_3 ein Minimum hat [und f′f' nicht konstant sein kann, da ff laut Aufgabenstellung keine lineare Funktion ist], ist der Grad von f′f' mindestens 2 und damit der Grad von ff mindestens 3.

(2) Skizzieren Sie in Abbildung 1 einen denkbaren Verlauf des Graphen von f.

Lösung: Möglicher Graph von ff: - Geht durch (x1∣0)(x_1 \mid 0). - Hat bei x2x_2 einen Hochpunkt (waagerechte Tangente). - Hat bei x3x_3 einen Wendepunkt mit minimaler (negativer) Steigung und fällt danach flacher ab.

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