Aufgabe B3 - Längen, Winkel und Abstände im Raum · Abitur NRW Mathematik GK · Nachtermin · CAS · Weiterbildungsko 2023

Abbildung 1 zeigt einen Pyramidenstumpf. Das Koordinatensystem wurde so festgelegt, dass die quadratische Grundfläche $A_1A_2A_3A_4$ in der $x_1$-$x_2$-Ebene liegt, während sich die quadratische Deckfläche in einer zur $x_1$-$x_2$-Ebene parallelen Ebene auf der Höhe 10 befindet. Zudem geht die $x_3$-Achse durch die Diagonalenschnittpunkte beider Quadrate. Die Seitenlänge der quadratischen Deckfläche beträgt 4.

Es gilt $A_1(4|4|0)$, $A_2(-4|4|0)$, $A_4(4|-4|0)$ und $D(2|2|10)$.

Abbildung 2 zeigt einen Körper, der entsteht, wenn man die Deckfläche um $90^\circ$ um die $x_3$-Achse dreht und die Grundfläche $A_1A_2A_3A_4$ dabei unverändert lässt. In Abbildung 3 wird dieser Körper von oben gezeigt. Für diesen in den Abbildungen 2 und 3 dargestellten Körper, auf den sich die folgenden Aufgaben beziehen, gilt:

$A_1(4|4|0),\ A_2(-4|4|0),\ A_4(4|-4|0),$

$B_1(-2|2|10),\ B_2(-2|-2|10),\ B_3(2|-2|10),\ B_4(2|2|10).$

Teilaufgabe a

(1)

Geben Sie die Koordinaten von Punkt $A_3$ an.

(2)

Berechnen Sie das Volumen des gegebenen Pyramidenstumpfes.

[VE]

(3)

Berechnen Sie den Flächeninhalt $F_s$ der quadratischen Fläche $S$, in der der Pyramidenstumpf von der zur $x_1\text{-}x_2$-Ebene parallelen Ebene in der Höhe $5$ geschnitten wird.

[Zur Kontrolle: $F_s = 36\text{ FE}$]

Teilaufgabe b

(2)

Berechnen Sie die Größe des Winkels, den die Kanten $\overline{A_1B_1}$ und $\overline{A_1A_2}$ einschließen.

°

(3)

$H_1(1|3|5)$ ist der Punkt auf der Kante $\overline{A_1B_1}$ in der Höhe $5$. $H_2(-3|1|5)$, $H_3$ und $H_4$ sind die Punkte auf den Kanten $\overline{A_2B_2}$, $\overline{A_3B_3}$ und $\overline{A_4B_4}$ in der Höhe $5$. Diese Punkte bilden ein Quadrat $H_1H_2H_3H_4$. Der Flächeninhalt dieses Quadrats hat sich im Vergleich zu $F_s$ verkleinert.

Bestimmen Sie auf rechnerischem Weg, um wie viel Prozent der Flächeninhalt kleiner geworden ist.

%

Teilaufgabe c

(2)

Die in der Aufgabenstellung dargestellte Rechnung wird für die Geraden $A_3B_3$ und $A_4B_4$ ausgeführt.

(i) Bestimmen Sie $r$ und $s$ mithilfe von (I), (II) und (III).

(ii) Interpretieren Sie, was der Wert $\frac{4\cdot\sqrt{6}}{3}$ geometrisch bedeutet.