Teilaufgabe f (Geometrie) · Abitur NRW Mathematik LK · Nachtermin · CAS 2023

f) Gegeben ist die Ebene $E: \vec{x} = \vec{u} + r \cdot \vec{v} + s \cdot \vec{w},\ r, s \in \mathbb{R}$.

Abbildung 2 zeigt einen Teil der Ebene $E$.

(1) (i)

In Abbildung 2 sieht man ein Parallelogramm, das in der Ebene $E$ liegt. Es lässt sich darstellen durch $$\vec{x} = \vec{u} + r \cdot \vec{v} + s \cdot \vec{w},\ a \le r \le b,\ c \le s \le d,$$ wobei $a, b, c$ und $d$ ganzzahlig sind.

Geben Sie anhand von Abbildung 2 die Werte $a, b, c$ und $d$ an.

(ii)

Zeichnen Sie in Abbildung 2 alle Punkte der Ebene $E$ ein, die man erhält, wenn man in die Parametergleichung von $E$ für $r$ und $s$ jeweils sämtliche Werte mit $r \ge 0,\ s \ge 0$ und $r + s = 1$ einsetzt.

(2)

Gegeben sei: $E: \vec{x} = \begin{pmatrix} -6 \\ 7 \\ -8 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix},\ r, s \in \mathbb{R}$.

Ermitteln Sie für $E$ eine Gleichung in Normalenform.