Aufgabe 1 - Längen, Winkel und Abstände · Abitur NRW Mathematik GK · Teil B · Analytische Geometrie (CAS 2023

Ein Anbau eines Gebäudes wird modellhaft durch das abgebildete Prisma mit den Eckpunkten $A(0|0|0)$, $B(5|0|0)$, $C(5|4|0)$, $D(0|4|0)$, $E(0|0|4)$, $F(5|0|4)$, $G(5|3|3)$ und $H(0|3|3)$ beschrieben. Das Viereck EFGH stellt das Glasdach dar, das Viereck ABFE eine geschlossene Wand; die anderen Seiten des Anbaus bestehen vollständig aus Glas.

Die Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Realität. Die $x_1x_2$-Ebene beschreibt den Untergrund, auf dem der Anbau steht.

Auf dem Glasdach kann ein Rollo herabgelassen werden. Dabei bewegt sich das Rollo innerhalb einer Minute von der oberen Kante des Dachs, die durch $\overline{EF}$ dargestellt wird, bis zur unteren Kante des Dachs.

Zu einem bestimmten Zeitpunkt kann das auf den Anbau treffende Sonnenlicht durch parallele Geraden mit dem Richtungsvektor $\begin{pmatrix}1\\-1\\-2\end{pmatrix}$ beschrieben werden.

a

Begründen Sie, dass das Viereck $BCGF$ ein Drachenviereck ist. [2 BE]

c

Begründen Sie, dass die Ebene $L$ (durch die Punkte $A$, $B$ und $G$) eine Symmetrieebene des Körpers $ABCDEFGH$ ist. [3 BE]

d

Die beiden folgenden Rechnungen I und II liefern das Volumen des Anbaus:

$$\text{I }\ 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 \cdot 5 = 60 \qquad \text{II }\ 3 \cdot 5 \cdot 4 = 60$$

Erläutern Sie für eine der beiden Rechnungen den zugrunde liegenden Gedankengang. [2 BE]

e

Auf dem Glasdach kann ein Rollo herabgelassen werden. Dabei bewegt sich das Rollo innerhalb einer Minute von der oberen Kante des Dachs, die durch $\overline{EF}$ dargestellt wird, bis zur unteren Kante des Dachs.

Bestimmen Sie die mittlere Geschwindigkeit, mit der das Rollo herabgelassen wird, in Zentimeter pro Sekunde. [2 BE]

f

Zu einem bestimmten Zeitpunkt kann das auf den Anbau treffende Sonnenlicht durch parallele Geraden mit dem Richtungsvektor $\begin{pmatrix}1 \\ -1 \\ -2\end{pmatrix}$ beschrieben werden.

Berechnen Sie die Größe des Winkels, unter dem das Sonnenlicht auf den Untergrund trifft. [3 BE]