Aufgabe B2 - Differentialrechnung · Abitur NRW Mathematik GK · Nachtermin · CAS · Weiterbildungsko 2023

Aufgabenstellung:

In Abbildung 1 ist eine Holzliege zu sehen, deren geschwungene Liegefläche auf zwei Seitenteilen ruht. Für die Seitenteile wird Holz der Dicke $4\text{ cm}$ verwendet. Ein Volumen von $1\text{ cm}^3$ dieses Holzes besitzt eine Masse von $0{,}75\text{ g}$.

Abbildung 2 stellt den Längsschnitt eines Seitenteils dieser Liege als Modell dar. Dabei wird der obere Rand vom Graphen einer Funktion $g$ und der untere Rand vom Graphen einer Funktion $h$ beschrieben.

Der obere Rand wird in einem geeigneten Intervall durch den Graphen der Funktion $g$ beschrieben; dabei gilt:

$$g(x) = \frac{2}{3}x^3 - 3x^2 + 4x - \frac{7}{10}, \quad x \in \mathbb{R}.$$ In der Realität steht eine Längeneinheit des Modells für $40\text{ cm}$.

Gewöhnlich liegt eine Person so auf der Liege, dass im Längsschnitt die Kniekehlen etwa in dem Punkt liegen, den im Modell der lokale Hochpunkt $H$ des Graphen von $g$ darstellt. Das Gesäß liegt dann etwa in dem Punkt, der im Modell dem lokalen Tiefpunkt $T$ des Graphen von $g$ entspricht (siehe Abbildung 2). Eine Liege ist bequem, wenn die Oberschenkellänge ungefähr dem Abstand dieser beiden Punkte entspricht (erste Bedingung). Zudem soll die Steigung zwischen diesen beiden Punkten stets zwischen $-0{,}7$ und $0{,}7$ liegen (zweite Bedingung).

a)

(1) Geben Sie $g'(x)$ an und berechnen Sie die Koordinaten der Extrempunkte des Graphen von $g$, wobei Sie keine aus Funktionsgraphen abgelesenen Werte oder Zusammenhänge benutzen dürfen.

[Zur Kontrolle: Die Extremstellen liegen bei $x = 1$ und $x = 2$.]

(2) Berechnen Sie, wie weit Hoch- und Tiefpunkt im Modell voneinander entfernt sind.

(3) Ermitteln Sie, welche Steigung der Graph von $g$ an seiner Wendestelle hat.

(4) Personen mit $172\text{ cm}$ Körpergröße haben im Durchschnitt eine Oberschenkellänge von $40\text{ cm}$. Beurteilen Sie, ob die Liege für eine solche Person beide Bedingungen einer bequemen Liege erfüllt.

c)

Bei dem Versuch, die Form der Liege zu optimieren, wurde festgestellt, dass es besser ist, die Form der Liegefläche im Kopfbereich gerade zu gestalten. Deshalb wird nun für $x \geq 2{,}4$ der Graph der Funktion $g$ durch die Tangente $t$ an den Graphen von $g$ im Punkt $P(2{,}4 \mid g(2{,}4))$ ersetzt (siehe Abbildung 3).

(1) Bestimmen Sie auf rechnerischem Weg eine Gleichung für die Tangente $t$.

[Zur Kontrolle: $t: y = 1{,}12x - 1{,}852$.]

d)

Am Seitenteil wird eine Leiste $v$ befestigt, die parallel zur $y$-Achse verläuft (siehe Abbildung 3). Sie soll an der Stelle $x_v$ mit $0{,}34 < x_v < 2{,}40$ sitzen, an der der vertikale Abstand (Abstand in $y$-Richtung) zwischen oberem und unterem Rand des Seitenteils am größten ist.

Ermitteln Sie den größten vertikalen Abstand zwischen dem oberen und dem unteren Rand des Seitenteils.