Aufgabe B2 - Integralrechnung: Flächen und Bestän… · Abitur NRW Mathematik LK · Haupttermin · GTR 2023

Im Morgenverkehr bildet sich an einer Autobahnbaustelle oft ein Stau.

An einem bestimmten Tag beginnt der Stau um 06:00 Uhr und ist um 10:00 Uhr völlig verschwunden. Für diesen Tag lässt sich die momentane Änderungsrate der Staulänge vom Beginn bis zum Ende des Staus durch die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit

$$f(x) = x \cdot (8-5x) \cdot \left(1-\frac{x}{4}\right)^2$$$$= -\frac{5}{16}x^4 + 3x^3 - 9x^2 + 8x$$ modellieren. Dabei steht $x$ für die seit 06:00 Uhr verstrichene Zeit in Stunden und $f(x)$ für die momentane Änderungsrate der Staulänge in Kilometer pro Stunde.

(1)

Nennen Sie alle Zeitpunkte, an denen die momentane Änderungsrate der Staulänge im Modell null beträgt, und begründen Sie mithilfe des Aufbaus des Funktionsterms von $f$, dass keine weiteren derartigen Zeitpunkte existieren.

(2)

Es ist $f(2) < 0$. Geben Sie an, was dies im Sachzusammenhang bedeutet.

(4)

Geben Sie an, zu welchem Zeitpunkt der Stau seine größte Länge erreicht, und begründen Sie Ihre Angabe.

(5)

Neben der Funktion $f$ ist im Sachzusammenhang auch die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $s$ mit$$s(x)=\left(\frac{x}{4}\right)^2\cdot(4-x)^3 = -\frac{1}{16}x^5+\frac{3}{4}x^4-3x^3+4x^2$$relevant.

Begründen Sie die Richtigkeit der folgenden Aussage:

Die Staulänge in Kilometern kann für jeden Zeitpunkt von 06:00 Uhr bis 10:00 Uhr durch die Funktion $s$ angegeben werden.

Bestätigen Sie durch eine Rechnung, dass der Stau um 10:00 Uhr vollständig verschwunden ist.

(6)

Berechnen Sie, um wie viel die Staulänge von 06:30 Uhr bis 08:00 Uhr zunimmt, und bestimmen Sie für diesen Zeitraum die mittlere Änderungsrate der Staulänge.

(7)

Bestimmen Sie den Zeitpunkt zwischen 06:00 Uhr und 10:00 Uhr, an dem der Stau 0,5 km kürzer ist als eine Stunde zuvor.

(8)

An einem anderen Tag zeigt der Graph in Abbildung 1 die momentane Änderungsrate der Staulänge von 06:00 Uhr bis 10:00 Uhr. Dabei steht $x$ für die seit 06:00 Uhr verstrichene Zeit in Stunden und $y$ für die momentane Änderungsrate in Kilometer pro Stunde.

Der Stau hat um 07:30 Uhr eine bestimmte Länge, die er zu einem weiteren Zeitpunkt ebenfalls aufweist.

Markieren Sie diesen Zeitpunkt näherungsweise in Abbildung 1 und begründen Sie Ihr Vorgehen.