Aufgabe 2 (WTR 2) - Differentialrechnung · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Analysis (WTR) 2023

Die Abbildung 1 zeigt schematisch die achsensymmetrische Seitenansicht einer Hängebrücke. Die beiden vertikalen Pfeiler haben einen Abstand von $400\text{ m}$. Die Wasseroberfläche liegt $20\text{ m}$ unterhalb der Fahrbahn.

Die beiden Pfeiler gliedern die Brücke in einen linken, einen mittleren und einen rechten Abschnitt. Am oberen Ende jedes Pfeilers ist sowohl das Tragseil des mittleren Abschnitts als auch das Abspannseil des linken bzw. rechten Abschnitts befestigt. Die beiden Abspannseile sind am jeweiligen Ende der Fahrbahn verankert.

Im verwendeten Koordinatensystem entspricht eine Längeneinheit $10\text{ m}$ in der Realität. In der Seitenansicht der Brücke verläuft die x-Achse entlang der horizontal verlaufenden Fahrbahn, die y-Achse entlang der Symmetrieachse.

Im Folgenden wird der mittlere Abschnitt der Brücke betrachtet. Die vertikal verlaufenden Halteseile verbinden die Fahrbahn mit dem Tragseil. Sie haben sowohl von den Pfeilern als auch untereinander einen horizontalen Abstand von $16\text{ m}$.

Der Verlauf des Tragseils wird modellhaft durch den Funktionsterm$$s(x) = \left(\frac{1}{8}\right)^6 \cdot \left(x^4 + 2560x^2\right) + \frac{125}{256}$$beschrieben.

Der Verlauf des Tragseils kann näherungsweise durch einen Kreisbogen beschrieben werden. Dazu dient der Kreis mit dem Mittelpunkt $M\left(0 \mid \frac{1699}{36}\right)$, der durch die Punkte $A(-20 \mid 5)$, $B(20 \mid 5)$ und $C\left(0 \mid \frac{1}{2}\right)$ verläuft (vgl. Abbildung 2).

d)

Die Lösung der Gleichung $\frac{s(x)-0}{x-20}\cdot s'(x)=-1$ ermöglicht die Berechnung eines Abstands im Sachzusammenhang. Geben Sie an, um welchen Abstand es sich handelt, und begründen Sie Ihre Angabe.