Aufgabe B2 - Differentialrechnung · Abitur NRW Mathematik GK · Nachtermin · CAS 2023

Aufgabenstellung:

In Abbildung 1 ist eine Holzliege dargestellt, deren geschwungene Liegefläche auf zwei Seitenteilen ruht. Für die Seitenteile wird Holz der Dicke $4\text{ cm}$ verwendet. Ein Volumen von $1\text{ cm}^3$ dieses Holzes hat die Masse $0{,}75\text{ g}$.

Abbildung 2 zeigt modellhaft den Längsschnitt eines Seitenteils dieser Liege. Dabei wird der obere Rand durch den Graphen einer Funktion $g$, der untere Rand durch den Graphen einer Funktion $h$ beschrieben.

Der obere Rand wird in einem geeigneten Intervall durch den Graphen der Funktion $g$ beschrieben. Es gilt:

$$g(x)=\frac{2}{3}x^3 - 3x^2 + 4x - \frac{7}{10}, \quad x \in \mathbb{R}.$$

In der Realität steht eine Längeneinheit des Modells für $40\text{ cm}$.

Bei der Optimierung der Liegenform zeigte sich, dass eine gerade Liegefläche im Kopfbereich vorteilhafter ist. Daher wird für $x \ge 2{,}4$ der Graph von $g$ durch die Tangente $t$ an den Graphen von $g$ im Punkt $P(2{,}4 \mid g(2{,}4))$ ersetzt (siehe Abbildung 3).

a)

In der Regel liegt eine Person so auf der Liege, dass im Längsschnitt die Kniekehlen etwa in dem Punkt liegen, den im Modell der lokale Hochpunkt $H$ des Graphen von $g$ darstellt. Das Gesäß liegt dann etwa in dem Punkt, der im Modell dem lokalen Tiefpunkt $T$ des Graphen von $g$ entspricht (siehe Abbildung 2). Eine Liege ist bequem, wenn die Oberschenkellänge ungefähr dem Abstand dieser beiden Punkte entspricht (erste Bedingung). Zudem soll die Steigung zwischen diesen beiden Punkten stets zwischen $-0,7$ und $0,7$ liegen (zweite Bedingung).

(1)

Geben Sie $g'(x)$ an und berechnen Sie die Koordinaten der Extrempunkte des Graphen von $g$; Werte oder Zusammenhänge, die an Funktionsgraphen abgelesen wurden, dürfen dabei nicht benutzt werden.

[Zur Kontrolle: Die Extremstellen liegen bei $x = 1$ und $x = 2$.]

(

∣

)

(

∣

)

(2)

Berechnen Sie, wie weit Hochpunkt und Tiefpunkt voneinander entfernt sind.

(3)

Ermitteln Sie, welche Steigung der Graph von $g$ an seiner Wendestelle hat.

(4)

Bei einer Körpergröße von $172\text{ cm}$ beträgt die Oberschenkellänge im Mittel $40\text{ cm}$.

Beurteilen Sie, ob die Liege für eine solche Person beide Bedingungen einer bequemen Liege erfüllt.

c)

Bei dem Versuch, die Liege zu optimieren, zeigte sich, dass es günstiger ist, die Liegefläche im Kopfbereich gerade zu gestalten. Daher wird nun für $x \ge 2{,}4$ der Graph der Funktion $g$ durch die Tangente $t$ an den Graphen von $g$ im Punkt $P(2{,}4 \mid g(2{,}4))$ ersetzt (siehe Abbildung 3).

(1)

Bestimmen Sie eine Gleichung der Tangente $t$ rechnerisch.

[Zur Kontrolle: $t: y = 1{,}12x - 1{,}852$.]

d)

Am Seitenteil wird eine Leiste $v$ parallel zur $y$-Achse befestigt (siehe Abbildung 3). Sie wird an der Stelle $x_v$ mit $0{,}34 < x_v < 2{,}40$ angebracht, an der der vertikale Abstand (Abstand in $y$-Richtung) zwischen oberem und unterem Rand des Seitenteils am größten ist.

Ermitteln Sie den maximalen vertikalen Abstand zwischen dem oberen und dem unteren Rand des Seitenteils.