Aufgabe A1 - Aufgabe c · Abitur NRW Mathematik GK · Haupttermin · GTR 2023

(1) Zeigen Sie, dass $f'(x) = x \cdot (x + 2) \cdot e^x$ gilt.

Lösung: Mit Produktregel gilt: $$f'(x) = 2x \cdot e^x + x^2 \cdot e^x = (2x + x^2) \cdot e^x = x \cdot (x + 2) \cdot e^x$$

(2) Lokale Maximalstelle $x$:

Lösung: -2

(2) Lokale Minimalstelle $x$:

Lösung: 0

(2) Begründung / Nachweis der Art der Extremstellen:

Lösung: Vorzeichenwechselkriterium: $f'(-3) = 3e^{-3} > 0$ und $f'(-1) = -e^{-1} < 0 \Rightarrow$ VZW von $+$ nach $-$ bei $x = -2$ (lokales Maximum). $f'(-1) < 0$ und $f'(1) = 3e > 0 \Rightarrow$ VZW von $-$ nach $+$ bei $x = 0$ (lokales Minimum).