Abitur NRW Mathematik 2023 · LK · Haupttermin · GTR · Weiterbildungskolleg

Betrachtet werden die Funktionen $f$ und $g$ mit

$$f(x) = \frac{1}{2}x^3 - 3x^2 + \frac{3}{2}x + 5, \quad x \in \mathbb{R},$$ und $$g(x) = -3x + 5, \quad x \in \mathbb{R}.$$

(1)

Berechnen Sie diejenigen Stellen, an denen sich die Graphen von $f$ und $g$ schneiden bzw. gemeinsame Punkte haben.

(2)

Einer dieser gemeinsamen Punkte ist der Punkt $P(3 \mid f(3))$.

Zeigen Sie, dass der Graph von $g$ im Punkt $P$ den Graphen von $f$ als Tangente berührt.

Gegeben ist die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x) = \mathrm{e}^{\left(x^2\right)}$.

(1)

Geben Sie die Wertemenge von $f$ an.

[Die Wertemenge von $f$ umfasst alle Zahlen, die als Funktionswerte von $f$ auftreten.]

Gegeben ist die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x) = \mathrm{e}^{\left(x^2\right)}$.

(2)

Die erste Ableitung $f'$ der Funktion $f$ erfüllt die Beziehung $f'(x) = 2x\cdot f(x)$.

Die Graphen von $f$ und $f'$ schneiden sich in einem Punkt.

Bestimmen Sie die Steigung des Graphen von $f$ in diesem Punkt.

Gegeben ist eine in $\mathbb{R}$ definierte, nicht lineare ganzrationale Funktion $f$ mit der ersten Ableitungsfunktion $f'$ und der zweiten Ableitungsfunktion $f''$. Sie besitzt diese Eigenschaften:

$f$ hat bei $x_1$ eine Nullstelle.

Es gilt $f'(x_2)=0$ und $f''(x_2) \neq 0$.

$f'$ hat ein Minimum an der Stelle $x_3$.

Abbildung 1 zeigt die Positionen von $x_1$, $x_2$ und $x_3$.

(1)

Begründen Sie, dass $f$ mindestens den Grad 3 besitzt. [2 Punkte]

(2)

Skizzieren Sie in Abbildung 1 einen denkbaren Verlauf des Graphen von $f$. [3 Punkte]

Betrachtet wird die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f: x \mapsto -x^2 + 2ax$ mit $a \in \mathbb{R},\; a > 1$. $f$ besitzt die Nullstellen $0$ und $2a$.

(1)

Zeigen Sie, dass die Fläche, die vom Graphen von $f$ und der $x$-Achse begrenzt wird, den Inhalt $\frac{4}{3}a^3$ besitzt. [2 Punkte]

(2)

Der Hochpunkt des Graphen von $f$ befindet sich auf einer Seite eines Quadrats, von dem zwei Seiten auf den Koordinatenachsen liegen (vgl. Abbildung 2).

Das Quadrat hat denselben Flächeninhalt wie die Fläche, die vom Graphen von $f$ und der $x$-Achse eingeschlossen wird.

Bestimmen Sie $a$. [3 Punkte]

Betrachtet wird die Gerade $g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}$ mit $\lambda \in \mathbb{R}$.

(1)

Zeigen Sie, dass $g$ in der Ebene mit der Gleichung $x + y + z = 2$ liegt.

(2)

Zusätzlich ist die Geradenschar $h_a: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ a \\ 0 \end{pmatrix}$ mit $\mu \in \mathbb{R}$ und $a \in \mathbb{R}$ gegeben.

Weisen Sie nach, dass $g$ und $h_a$ unabhängig vom Wert von $a$ zueinander windschief liegen.

(1)

Betrachtet wird das folgende Gleichungssystem

I 2x + z = 0

II - 2y + 4z = 0 mit x, y, z ∈ ℝ.

III 2y - 5z = 1

Berechnen Sie, welche Lösung das Gleichungssystem hat.

(2)

Es existiert ein Wert $r$ mit $r \in \mathbb{R}$, sodass das Gleichungssystem

I 2x + z = 0

II - 2y + 4z = 0 mit x, y, z ∈ ℝ

III 2y - r · z = 1

keine Lösung hat.

Ermitteln Sie den gesuchten Wert.

Aufgabenstellung:

Gegeben ist die Funktion $f$ mit der Gleichung

$$f(x) = (x^3 - 5) \cdot e^x, \quad x \in \mathbb{R}.$$

Abbildung 1 zeigt den Graphen von $f$.

Im Folgenden darf ohne Nachweis verwendet werden: $f'(x) = (x^3 + 3x^2 - 5) \cdot e^x$.

a)

(1) Zeigen Sie, dass gilt: $f''(x) = (x^3 + 6x^2 + 6x - 5) \cdot e^x$.

Der Graph von $f$ hat genau eine Extremstelle sowie drei Wendestellen.

(2) Berechnen Sie die Wendestellen von $f$ und runden Sie auf drei Nachkommastellen.

Für $z > 0$ ist $P_z(z \mid f(z))$ ein Punkt auf dem Graphen von $f$. Er bildet zusammen mit dem Koordinatenursprung $O(0 \mid 0)$ und dem Punkt $Q_z(z \mid 0)$ ein Dreieck $OP_zQ_z$.

(3) Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks $OP_zQ_z$ für den Fall, dass $P_z$ der Tiefpunkt des Graphen von $f$ ist.

Aufgabenstellung:

Gegeben ist die Funktion $f$ mit der Gleichung

$$f(x) = (x^3 - 5) \cdot e^x, \quad x \in \mathbb{R}.$$

Abbildung 1 zeigt den Graphen von $f$.

Im Folgenden darf ohne Nachweis verwendet werden: $f'(x) = (x^3 + 3x^2 - 5) \cdot e^x$.

Teilaufgabe b

b) (1)

Zur Ermittlung einer Stammfunktion $F$ von $f$ ist der folgende Ansatz geeignet:

$F(x) = (a\cdot x^3 + b\cdot x^2 + c\cdot x + d)\cdot e^x$; $a, b, c, d \in \mathbb{R}$, $a \neq 0$.

Berechnen Sie $F'(x)$ und ermitteln Sie durch einen Vergleich mit $f(x)$ ein lineares Gleichungssystem für die Koeffizienten $a$, $b$, $c$, $d$.

[Die Koeffizienten müssen nicht berechnet werden.]

Eine Stammfunktion $F$ der Funktion $f$ ist gegeben durch:

$$F(x) = (x^3 - 3x^2 + 6x - 11)\cdot e^x$$

b) (2)

Bestimmen Sie rechnerisch den Flächeninhalt des Gebiets, das im 4. Quadranten vom Graphen von $f$ und den Koordinatenachsen begrenzt wird.

b) (3)

Die Gleichung $\int_0^z f(x)\,\mathrm{d}x = 0$ besitzt für $z \neq 0$ ausschließlich die Lösung $z \approx 2{,}271$.

Interpretieren Sie diese Lösung geometrisch.

b) (4)

Im 3. Quadranten schließen für $x \le 0$ die Koordinatenachsen und der Graph von $f$ eine Fläche ein, die sich unbegrenzt nach links erstreckt, aber einen endlichen Flächeninhalt hat.

Ermitteln Sie den Inhalt dieser Fläche.

b) (5)

Die Punkte $O(0\mid 0)$, $N(-5\mid 0)$, $Y(0\mid -5)$ spannen das Dreieck $ONY$ auf. Der Graph von $f$ verläuft teilweise im Inneren dieses Dreiecks und umschließt zusammen mit der Seite $\overline{NY}$ eine Fläche $A$.

(i) Zeichnen Sie die Fläche $A$ in Abbildung 2 ein.

[Hinweis: Abbildung 2 stimmt mit Abbildung 1 überein.]

(ii) Bestimmen Sie den Flächeninhalt der Fläche $A$.

c) Betrachtet wird die Funktionenschar $f_k$ mit Definitionsmenge $\mathbb{R}$ und der Gleichung

$$f_k(x) = (x^3 + k)\cdot e^x \text{ mit } k \in \mathbb{R}\text{.}$$

Die Funktion $f_{-5}$ ist identisch mit der Funktion $f$.

In Abbildung 3 sind drei Graphen $G_I, G_{II}, G_{III}$ der Schar dargestellt, die zu drei verschiedenen Parameterwerten $k_I, k_{II}, k_{III}$ gehören.

(1)

Geben Sie die Werte der dazugehörigen Parameter an.

(2)

Begründen Sie, dass jede Funktion $f_k$ dieser Schar genau eine Nullstelle besitzt.

c) Betrachtet wird die Funktionenschar $f_k$ mit Definitionsmenge $\mathbb{R}$ und der Gleichung

$$f_k(x) = (x^3 + k)\cdot e^x \text{ mit } k \in \mathbb{R}\text{.}$$

Die Funktion $f_{-5}$ ist identisch mit der Funktion $f$.

In Abbildung 3 sind drei Graphen $G_I, G_{II}, G_{III}$ der Schar dargestellt, die zu drei verschiedenen Parameterwerten $k_I, k_{II}, k_{III}$ gehören.

Die Ableitungsfunktion $f_k'$ ist gegeben durch:

$$f_k'(x) = (x^3 + 3x^2 + k) \cdot e^x, \quad x \in \mathbb{R};\, k \in \mathbb{R}.$$

(3) Wie die Anzahl der Extremstellen von $f_k$ vom Parameter $k$ abhängt, soll genauer untersucht werden. Dazu werden die Nullstellen der Funktion $h_k$ mit $h_k(x) = x^3 + 3x^2 + k$ betrachtet.

Abbildung 4 stellt den Graphen der Funktion $h_0$ (also $k = 0$) dar.

(i)

Geben Sie mithilfe von Abbildung 4 an, wie viele Nullstellen die Funktion $h_k$ je nach Wert des Parameters $k$ besitzt.

(ii)

Begründen Sie, dass die folgenden drei Aussagen zutreffen:

An einer Baustelle auf einer Autobahn bildet sich am Morgen oft ein Stau.

An einem bestimmten Tag bildet sich der Stau um 06:00 Uhr und ist um 10:00 Uhr völlig aufgelöst. Für diesen Tag lässt sich die momentane Änderungsrate der Staulänge vom Beginn bis zum Ende des Staus durch die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit

$$f(x) = x \cdot (8 - 5x) \cdot \left(1 - \frac{x}{4}\right)^2$$$$= -\frac{5}{16}x^4 + 3x^3 - 9x^2 + 8x$$darstellen. Dabei steht $x$ für die seit 06:00 Uhr verstrichene Zeit in Stunden und $f(x)$ für die momentane Änderungsrate der Staulänge in Kilometer pro Stunde.

(1)

Nennen Sie alle Zeitpunkte, an denen die momentane Änderungsrate der Staulänge im Modell null beträgt, und begründen Sie mithilfe des Aufbaus des Funktionsterms von $f$, dass es keine weiteren derartigen Zeitpunkte gibt.

(2)

Es gilt $f(2) < 0$. Geben Sie an, was diese Aussage im Sachzusammenhang bedeutet.

(3)

Bestimmen Sie den Zeitpunkt, an dem die Staulänge am schnellsten wächst.

Zeigen Sie, dass die momentane Änderungsrate zu diesem Zeitpunkt einen Wert zwischen $2\,\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$ und $3\,\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$ hat.

(4)

Geben Sie an, zu welchem Zeitpunkt der Stau seine größte Länge erreicht. Begründen Sie Ihre Angabe.

An einer Baustelle auf einer Autobahn bildet sich am Morgen oft ein Stau.

An einem bestimmten Tag bildet sich der Stau um 06:00 Uhr und ist um 10:00 Uhr völlig aufgelöst. Für diesen Tag lässt sich die momentane Änderungsrate der Staulänge vom Beginn bis zum Ende des Staus durch die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit

$$f(x) = x \cdot (8 - 5x) \cdot \left(1 - \frac{x}{4}\right)^2$$$$= -\frac{5}{16}x^4 + 3x^3 - 9x^2 + 8x$$darstellen. Dabei steht $x$ für die seit 06:00 Uhr verstrichene Zeit in Stunden und $f(x)$ für die momentane Änderungsrate der Staulänge in Kilometer pro Stunde.

Im betrachteten Zusammenhang spielt neben der Funktion $f$ auch die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $s$ mit$$s(x)=\left(\frac{x}{4}\right)^2\cdot (4-x)^3=-\frac{1}{16}x^5+\frac{3}{4}x^4-3x^3+4x^2$$eine Rolle.

(5)

Begründen Sie die Richtigkeit der folgenden Aussage:

Die Staulänge in Kilometern kann für jeden Zeitpunkt von 06:00 Uhr bis 10:00 Uhr durch die Funktion $s$ angegeben werden.

Weisen Sie rechnerisch nach, dass der Stau um 10:00 Uhr vollständig verschwunden ist.

(6)

Berechnen Sie, um wie viel die Staulänge von 06:30 Uhr bis 08:00 Uhr zunimmt, und bestimmen Sie für dieses Zeitintervall die mittlere Änderungsrate der Staulänge.

(7)

Bestimmen Sie den Zeitpunkt zwischen 06:00 Uhr und 10:00 Uhr, an dem der Stau 0,5 km kürzer ist als eine Stunde zuvor.

(8)

An einem anderen Tag wird die momentane Änderungsrate der Staulänge von 06:00 Uhr bis 10:00 Uhr durch den Graphen in Abbildung 1 beschrieben. Dabei bezeichnet $x$ die seit 06:00 Uhr vergangene Zeit in Stunden und $y$ die momentane Änderungsrate in Kilometer pro Stunde.

Um 07:30 Uhr hat der Stau eine bestimmte Länge. Zu einem anderen Zeitpunkt ist der Stau genauso lang.

Markieren Sie diesen Zeitpunkt näherungsweise in Abbildung 1 und begründen Sie Ihre Vorgehensweise.

An einer Baustelle auf einer Autobahn bildet sich am Morgen oft ein Stau.

An einem bestimmten Tag bildet sich der Stau um 06:00 Uhr und ist um 10:00 Uhr völlig aufgelöst. Für diesen Tag lässt sich die momentane Änderungsrate der Staulänge vom Beginn bis zum Ende des Staus durch die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit

$$f(x) = x \cdot (8 - 5x) \cdot \left(1 - \frac{x}{4}\right)^2$$$$= -\frac{5}{16}x^4 + 3x^3 - 9x^2 + 8x$$darstellen. Dabei steht $x$ für die seit 06:00 Uhr verstrichene Zeit in Stunden und $f(x)$ für die momentane Änderungsrate der Staulänge in Kilometer pro Stunde.

b) Betrachtet wird die Schar der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $l_{a;b}$ mit

$$l_{a;b}(x) = 16 \cdot \frac{a}{b} \cdot x^2 \cdot \left(1 - \frac{x}{b}\right)^3 \quad \text{und } a, b \in \mathbb{R},\; a > 0,\; b > 0.$$

(1)

Es gilt: $l_{a;b}'(x) = 16 \cdot \frac{a}{b} \cdot x \cdot \left(2 - \frac{5\cdot x}{b}\right) \cdot \left(1 - \frac{x}{b}\right)^2$.

Bestimmen Sie in Abhängigkeit von $b$ die lokalen Extremstellen von $l_{a;b}$ sowie deren Art.

[Zur Kontrolle: Der einzige lokale Hochpunkt des Graphen von $l_{a;b}$ befindet sich an der Stelle $x = 0{,}4\cdot b$.]

Die Funktion $l_{1;4}$ ist identisch mit der Funktion $s$ (aus Aufgabenteil a)).

Eine Verkehrszentrale überwacht den Autobahnverkehr in der Umgebung. Die Computersysteme der Verkehrszentrale erhalten ständig Daten von Sensoren und Kameras, die von einer Software verarbeitet werden.

Die Software modelliert Staulängen mit den Funktionen $l_{a;b}$. Dabei gibt $x$ mit $0 \le x \le b$ die vergangene Zeit in Stunden ab der Entstehung des Staus und $l_{a;b}(x)$ die Staulänge in Kilometer an.

(2)

Auf einem Display wird ein Stau angezeigt, der um 06:00 Uhr entstanden ist. Für die Modellierung dieses Staus verwendet die Software die Parameter $a = 2{,}4$ und $b = 12$.

Berechnen Sie, zu welchem Zeitpunkt die prognostizierte Staulänge nach Entstehen des Staus zum ersten Mal 10 Kilometer erreicht.

Um 06:40 Uhr schaltet eine Mitarbeiterin der Verkehrszentrale eine Reihe von computergesteuerten Verkehrszeichen – ein sogenanntes Leitsystem – ein, die bei der Reduzierung des Staus helfen sollen. Dadurch ändern sich die Parameter der Modellierung für die Zeit nach 06:40 Uhr auf $a = 1{,}75$ und $b = 8$.

(3)

Berechnen Sie, um wie viel Prozent die prognostizierte maximale Staulänge sinkt, wenn das Leitsystem eingeschaltet wird.

%

(4)

Zusätzlich zum Leitsystem soll ein Polizeieinsatz bei der Reduzierung des Staus helfen. Die Polizei will dafür sorgen, dass die Staulänge ab 11:00 Uhr konstant mit der Änderungsrate abnimmt, die die Software für 11:00 Uhr vorhersagt.

(i)

Ermitteln Sie unter diesen Annahmen mithilfe von Abbildung 2 grafisch, zu welchem Zeitpunkt der Stau verschwunden sein wird.

(ii)

Überprüfen Sie das in (i) erhaltene Ergebnis mithilfe einer passenden Rechnung.

Aufgabenstellung:

Der Körper $K$ in Abbildung 1 besitzt die Eckpunkte $A_1$, $A_2$, $A_3$, $A_4$, $B_1$, $B_2$, $B_3$ und $B_4$ und weist die folgenden Merkmale auf:

$A_1A_2A_3A_4$ ist ein Rechteck, das in der $x_1x_2$-Ebene liegt; $B_1B_2B_3B_4$ ist ein Rechteck in einer Ebene parallel zur $x_1x_2$-Ebene. Die Vierecke $A_2A_3B_3B_2$ und $A_1A_4B_4B_1$ befinden sich in Ebenen, die zur $x_1x_3$-Ebene parallel sind.

Für sechs der Eckpunkte gilt:

$A_1(50 \mid -5 \mid 0)$,

$A_2(50 \mid 5 \mid 0)$,

$A_3\left(\frac{\sqrt{75}}{3} \;\middle|\; 5 \;\middle|\; 0\right)$,

$A_4\left(\frac{\sqrt{75}}{3} \;\middle|\; -5 \;\middle|\; 0\right)$,

$B_2(10 \mid 5 \mid 30)$,

$B_3\left(\frac{\sqrt{75}}{3} \;\middle|\; 5 \;\middle|\; 30\right)$.

a)

(1)

Geben Sie die Koordinaten von $B_1$ an.

$B_1($

$|$

$|$

$)$

(2)

Begründen Sie, weshalb es sich bei der Seitenfläche $A_2A_3B_3B_2$ um ein Trapez handelt, und berechnen Sie das Volumen des Körpers $K$.

VE

Aufgabenstellung:

Der Körper $K$ in Abbildung 1 besitzt die Eckpunkte $A_1$, $A_2$, $A_3$, $A_4$, $B_1$, $B_2$, $B_3$ und $B_4$ und weist die folgenden Merkmale auf:

$A_1A_2A_3A_4$ ist ein Rechteck, das in der $x_1x_2$-Ebene liegt; $B_1B_2B_3B_4$ ist ein Rechteck in einer Ebene parallel zur $x_1x_2$-Ebene. Die Vierecke $A_2A_3B_3B_2$ und $A_1A_4B_4B_1$ befinden sich in Ebenen, die zur $x_1x_3$-Ebene parallel sind.

Für sechs der Eckpunkte gilt:

$A_1(50 \mid -5 \mid 0)$,

$A_2(50 \mid 5 \mid 0)$,

$A_3\left(\frac{\sqrt{75}}{3} \;\middle|\; 5 \;\middle|\; 0\right)$,

$A_4\left(\frac{\sqrt{75}}{3} \;\middle|\; -5 \;\middle|\; 0\right)$,

$B_2(10 \mid 5 \mid 30)$,

$B_3\left(\frac{\sqrt{75}}{3} \;\middle|\; 5 \;\middle|\; 30\right)$.

Durch $$E_a: \vec{x} = \begin{pmatrix} 50-a \\ 5 \\ 0{,}75\cdot a \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -10 \\ 0 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix},\quad a\in\mathbb{R},\; r,s\in\mathbb{R},$$ definiert eine Schar paralleler Ebenen. Im Weiteren wird der Boden eines jeden Balkons als Fläche in einer passenden Ebene dieser Schar modelliert. So liegt etwa der Boden des Balkons der 3. Etage in der Ebene $E_{12}$.

(1)

Zeigen Sie: Der Punkt $(50-a\mid 5\mid 0{,}75\cdot a)$ liegt für jeden Wert von $a$ mit $0 \le a \le 40$ auf der Strecke $\overline{A_2B_2}$.

(2)

Sämtliche Punkte der Bodenfläche des Balkons der 3. Etage werden durch die Parametergleichung

$$\vec{x} = \begin{pmatrix} 38 \\ 5 \\ 9 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -10 \\ 0 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix},\quad 0\le r\le 1,\; 0\le s\le 3,$$

erfasst.

Wie in Abbildung 3 zu sehen ist, ruht der Balkon auf zwei senkrechten Stützen $s_1$ und $s_2$.

Berechnen Sie, wie lang die Stütze $s_1$ ist.

Aufgabenstellung:

Der Körper $K$ in Abbildung 1 besitzt die Eckpunkte $A_1$, $A_2$, $A_3$, $A_4$, $B_1$, $B_2$, $B_3$ und $B_4$ und weist die folgenden Merkmale auf:

$A_1A_2A_3A_4$ ist ein Rechteck, das in der $x_1x_2$-Ebene liegt; $B_1B_2B_3B_4$ ist ein Rechteck in einer Ebene parallel zur $x_1x_2$-Ebene. Die Vierecke $A_2A_3B_3B_2$ und $A_1A_4B_4B_1$ befinden sich in Ebenen, die zur $x_1x_3$-Ebene parallel sind.

Für sechs der Eckpunkte gilt:

$A_1(50 \mid -5 \mid 0)$,

$A_2(50 \mid 5 \mid 0)$,

$A_3\left(\frac{\sqrt{75}}{3} \;\middle|\; 5 \;\middle|\; 0\right)$,

$A_4\left(\frac{\sqrt{75}}{3} \;\middle|\; -5 \;\middle|\; 0\right)$,

$B_2(10 \mid 5 \mid 30)$,

$B_3\left(\frac{\sqrt{75}}{3} \;\middle|\; 5 \;\middle|\; 30\right)$.

Das Hotel besteht aus drei Gebäuden mit identischer Form. Gebäude I wird durch den Körper $K$ modelliert; die Gebäude II und III entstehen, indem Gebäude I jeweils um $120^\circ$ gedreht wird (siehe Abbildung 4). Die drei Gebäude grenzen so aneinander, dass sich ein dreieckiger Innenhof ergibt. Im Modell befindet sich dieser Innenhof in der $x_1x_2$-Ebene.

c) Der Innenhof $A_4A_3P$ ist ein gleichseitiges Dreieck.

(1)

Ermitteln Sie die Koordinaten des Punktes $P$ rechnerisch.

[Zur Kontrolle: $P\left(-\frac{2\cdot\sqrt{75}}{3}\Big|0\Big|0\right) \approx P(-5{,}77|0|0)$]

$P\,($ $|$ $|$ $)$

(2)

Berechnen Sie die Entfernung des Punktes $A_4$ vom Koordinatenursprung $O(0|0|0)$.

Aufgabenstellung:

Der Körper $K$ in Abbildung 1 besitzt die Eckpunkte $A_1$, $A_2$, $A_3$, $A_4$, $B_1$, $B_2$, $B_3$ und $B_4$ und weist die folgenden Merkmale auf:

$A_1A_2A_3A_4$ ist ein Rechteck, das in der $x_1x_2$-Ebene liegt; $B_1B_2B_3B_4$ ist ein Rechteck in einer Ebene parallel zur $x_1x_2$-Ebene. Die Vierecke $A_2A_3B_3B_2$ und $A_1A_4B_4B_1$ befinden sich in Ebenen, die zur $x_1x_3$-Ebene parallel sind.

Für sechs der Eckpunkte gilt:

$A_1(50 \mid -5 \mid 0)$,

$A_2(50 \mid 5 \mid 0)$,

$A_3\left(\frac{\sqrt{75}}{3} \;\middle|\; 5 \;\middle|\; 0\right)$,

$A_4\left(\frac{\sqrt{75}}{3} \;\middle|\; -5 \;\middle|\; 0\right)$,

$B_2(10 \mid 5 \mid 30)$,

$B_3\left(\frac{\sqrt{75}}{3} \;\middle|\; 5 \;\middle|\; 30\right)$.

d)

(1)

Stellen Sie für die Ebene $F$, die die Fläche $A_1A_2B_2B_1$ enthält, eine Koordinatengleichung auf.

[Zur Kontrolle: $F: 3\cdot x_1 + 4\cdot x_3 = 150$.]

(2)

Mittig im Innenhof befindet sich ein Mast, dessen Spitze durch den Punkt $S(0|0|35)$ gegeben ist. Zu einem bestimmten Zeitpunkt verlaufen die Sonnenstrahlen in Richtung $\vec{r} = \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}$.

Untersuchen Sie, ob der Schatten der Mastspitze zu diesem Zeitpunkt in der Fläche $A_1A_2B_2B_1$ liegt.

$Q($ $|$ $|$ $)$

Ja

Nein

Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln

Aufgabenstellung:

Ein Betrieb produziert Olivenöl und füllt dieses in Flaschen. Auf jeder Flasche ist eine Füllmenge von $600\text{ ml}$ angegeben.

Teilaufgabe a)

Je zwölf Flaschen werden zu einem Karton zusammengepackt. Ein Karton wird als fehlerhaft eingestuft, wenn in mehr als einer Flasche weniger als $600\text{ ml}$ Öl enthalten sind. Jede Flasche enthält mit einer Wahrscheinlichkeit von $1{,}5\,\%$ weniger als $600\text{ ml}$ Öl.

(1)

Im Sachzusammenhang ist die Rechnung $0{,}985^{12} \approx 83{,}4\,\%$ die Lösung einer Aufgabe. Formulieren Sie dazu eine passende Aufgabenstellung und erläutern Sie, wie die Rechnung angesetzt wird. [3 Punkte]

(2)

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass von $100$ Flaschen genau drei weniger als $600\text{ ml}$ Öl enthalten. [2 Punkte]

(3)

Die Flaschen werden nacheinander geöffnet und auf ihre Füllmenge geprüft. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass erst die vierte geöffnete Flasche die erste ist, die weniger als $600\text{ ml}$ Öl enthält. [2 Punkte]

(4)

Ein Supermarkt bekommt regelmäßig stets gleich viele Flaschen geliefert. Im Mittel enthalten davon mehr als $780$ Flaschen mindestens $600\text{ ml}$ Öl. Ermitteln Sie, wie viele Flaschen eine solche Lieferung mindestens umfasst. [3 Punkte]

(5)

Ein Supermarkt wird mit $150$ Kartons beliefert. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als $3\,\%$ dieser Kartons fehlerhaft sind. [4 Punkte]

Teilaufgabe b)

Für die Füllmenge der Flaschen wird eine Normalverteilung mit dem Erwartungswert $600{,}5\text{ ml}$ und der Standardabweichung $0{,}23\text{ ml}$ angenommen.

(1)

Es wird zufällig eine Flasche gewählt. Ermitteln Sie jeweils die Wahrscheinlichkeit der folgenden Ereignisse: [3 Punkte]

A: „Die Flasche enthält mehr als $601\text{ ml}$ Öl.“

B: „Die Füllmenge der Flasche weicht höchstens um $0{,}5\text{ ml}$ vom Erwartungswert ab.“

(2)

Eine Füllmenge kann nicht negativ sein. Die für die Füllmenge verwendete Normalverteilung ist aber auch für negative reelle Zahlen definiert und liefert dort nur positive Werte. Begründen Sie, warum es trotzdem sinnvoll ist, die Normalverteilung zu verwenden. [2 Punkte]

(3)

Der Betrieb will erreichen, dass seltener weniger als $600\text{ ml}$ Öl in eine Flasche gefüllt werden. Für die dazu nötige Änderung an der Abfüllmaschine liegen zwei Vorschläge vor:

Vorschlag 1: Die eingestellte Füllmenge von $600{,}5\text{ ml}$ wird vergrößert.

Vorschlag 2: Die Maschine erreicht die eingestellte Füllmenge von $600{,}5\text{ ml}$ künftig genauer.

Der Erwartungswert der Zufallsgröße ist immer die eingestellte Füllmenge.

Die Abbildungen 1 und 2 zeigen jeweils den Graphen der Dichtefunktion, die vor der Änderung der Maschine die Füllmenge der Flaschen beschreibt.

Skizzieren Sie in Abbildung 1 einen möglichen Graphen der Dichtefunktion nach Umsetzung von Vorschlag 1 und in Abbildung 2 einen passenden Graphen für Vorschlag 2. [6 Punkte]

Begründen Sie anhand Ihrer Skizzen für jeden der beiden Vorschläge, dass das Ziel des Betriebs damit erreicht wird.

Abbildung 1 stellt die achsensymmetrische Seitenansicht einer Hängebrücke schematisch dar. Zwischen den beiden vertikalen Pfeilern beträgt der Abstand $400\text{ m}$. Die Fahrbahn befindet sich $20\text{ m}$ über der Wasseroberfläche.

Durch die beiden Pfeiler wird die Brücke in einen linken, einen mittleren und einen rechten Abschnitt unterteilt. Oben an jedem Pfeiler sind das Tragseil des mittleren Abschnitts sowie das Abspannseil des linken bzw. rechten Abschnitts angebracht. Jedes der beiden Abspannseile ist am zugehörigen Fahrbahnende verankert.

Im zugrunde gelegten Koordinatensystem steht eine Längeneinheit für $10\text{ m}$ in der Wirklichkeit. In der Seitenansicht liegt die $x$-Achse auf der horizontalen Fahrbahn, die $y$-Achse auf der Symmetrieachse.

Für den rechten Abschnitt der Brücke wird der Verlauf des Abspannseils im Modell durch den Funktionsterm $$r(x) = \frac{253}{100} \cdot \left(e^{\frac{1}{11}(32-x)} - 1\right)$$ dargestellt.

(1)

Zeigen Sie, dass die Fahrbahn der Brücke eine Gesamtlänge von $640\text{ m}$ hat. Geben Sie hierfür die Nullstelle $x$ der Funktion $r$ an:

(2)

Auch für den linken Abschnitt der Brücke lässt sich der Verlauf des Abspannseils im Modell mit einem Funktionsterm beschreiben. Geben Sie einen geeigneten Term $l(x)$ und das Intervall $[x_{\min}; x_{\max}]$ an, auf dem dieser Term das Abspannseil darstellt.

(3)

Berechnen Sie, wie hoch die Pfeiler über die Wasseroberfläche hinausragen.

Abbildung 1 stellt die achsensymmetrische Seitenansicht einer Hängebrücke schematisch dar. Zwischen den beiden vertikalen Pfeilern beträgt der Abstand $400\text{ m}$. Die Fahrbahn befindet sich $20\text{ m}$ über der Wasseroberfläche.

Durch die beiden Pfeiler wird die Brücke in einen linken, einen mittleren und einen rechten Abschnitt unterteilt. Oben an jedem Pfeiler sind das Tragseil des mittleren Abschnitts sowie das Abspannseil des linken bzw. rechten Abschnitts angebracht. Jedes der beiden Abspannseile ist am zugehörigen Fahrbahnende verankert.

Im zugrunde gelegten Koordinatensystem steht eine Längeneinheit für $10\text{ m}$ in der Wirklichkeit. In der Seitenansicht liegt die $x$-Achse auf der horizontalen Fahrbahn, die $y$-Achse auf der Symmetrieachse.

Untersuchen Sie rechnerisch, ob die Steigungen des rechten und des linken Abspannseils an dem jeweils zugehörigen Pfeiler im Bereich zwischen $-0{,}7$ und $0{,}7$ liegen.

a)

Geben Sie den Funktionsterm der ersten Ableitung $r'(x)$ an:

b)

Berechnen Sie die Steigung des rechten Abspannseils an der Stelle $x = 20$, an der der Pfeiler steht:

c)

Befinden sich die Steigungen beider Abspannseile an ihren jeweiligen Pfeilern zwischen $-0{,}7$ und $0{,}7$?

Ja

Nein

Abbildung 1 stellt die achsensymmetrische Seitenansicht einer Hängebrücke schematisch dar. Zwischen den beiden vertikalen Pfeilern beträgt der Abstand $400\text{ m}$. Die Fahrbahn befindet sich $20\text{ m}$ über der Wasseroberfläche.

Durch die beiden Pfeiler wird die Brücke in einen linken, einen mittleren und einen rechten Abschnitt unterteilt. Oben an jedem Pfeiler sind das Tragseil des mittleren Abschnitts sowie das Abspannseil des linken bzw. rechten Abschnitts angebracht. Jedes der beiden Abspannseile ist am zugehörigen Fahrbahnende verankert.

Im zugrunde gelegten Koordinatensystem steht eine Längeneinheit für $10\text{ m}$ in der Wirklichkeit. In der Seitenansicht liegt die $x$-Achse auf der horizontalen Fahrbahn, die $y$-Achse auf der Symmetrieachse.

In der Seitenansicht schließen der rechte Pfeiler, das dazugehörige Abspannseil und die Fahrbahn ein Flächenstück ein. Ermitteln Sie den Inhalt dieses Flächenstücks in der Realität.

Abbildung 1 stellt die achsensymmetrische Seitenansicht einer Hängebrücke schematisch dar. Zwischen den beiden vertikalen Pfeilern beträgt der Abstand $400\text{ m}$. Die Fahrbahn befindet sich $20\text{ m}$ über der Wasseroberfläche.

Durch die beiden Pfeiler wird die Brücke in einen linken, einen mittleren und einen rechten Abschnitt unterteilt. Oben an jedem Pfeiler sind das Tragseil des mittleren Abschnitts sowie das Abspannseil des linken bzw. rechten Abschnitts angebracht. Jedes der beiden Abspannseile ist am zugehörigen Fahrbahnende verankert.

Im zugrunde gelegten Koordinatensystem steht eine Längeneinheit für $10\text{ m}$ in der Wirklichkeit. In der Seitenansicht liegt die $x$-Achse auf der horizontalen Fahrbahn, die $y$-Achse auf der Symmetrieachse.

b) Betrachtet wird nun der mittlere Teil der Brücke. Die senkrecht angeordneten Halteseile verbinden die Fahrbahn mit dem Tragseil. Zu den Pfeilern und zueinander beträgt ihr horizontaler Abstand jeweils 16 m.

Den Verlauf des Tragseils beschreibt man im Modell mit dem Funktionsterm

$$s(x) = \left(\frac{1}{8}\right)^6 \cdot \left(x^4 + 2560x^2\right) + \frac{125}{256}$$

beschrieben.

(1)

Begründen Sie, dass der Term von $s$ dazu passt, dass die Brücke in der Seitenansicht achsensymmetrisch ist.

(2)

Im mittleren Brückenabschnitt sind zwei Halteseile jeweils $\frac{643061}{64000}\text{ m} \; [\approx 10{,}00\text{ m}]$.

Zeigen Sie rechnerisch, dass sich diese Halteseile im Modell an den Stellen $x = -7{,}2$ und $x = 7{,}2$ befinden, d. h. 72 m links bzw. rechts der Brückenmitte.

(3)

In der rechten Hälfte des mittleren Abschnitts liegen zwei Punkte des Tragseils horizontal 40 m auseinander und unterscheiden sich in der Höhe um 5 m.

(4)

Geben Sie an, was der Term

$$(s(-20 + 1{,}6 \cdot 1) + s(-20 + 1{,}6 \cdot 2) + \dots + s(-20 + 1{,}6 \cdot 23) + s(-20 + 1{,}6 \cdot 24)) \cdot 10$$

im Sachzusammenhang bedeutet, und begründen Sie Ihre Angabe.