Aufgabe B4 · Abitur NRW Mathematik LK · Haupttermin · GTR 2023

Aufgabenstellung:

Ein Betrieb produziert Olivenöl und füllt dieses in Flaschen. Auf jeder Flasche ist als Füllmenge $600\text{ ml}$ angegeben.

a) Je zwölf Flaschen werden zu einem Karton zusammengepackt. Ein Karton wird als fehlerhaft bezeichnet, wenn mehr als eine seiner Flaschen weniger als $600\text{ ml}$ Öl enthält. Jede Flasche enthält mit einer Wahrscheinlichkeit von $1{,}5\,\%$ weniger als $600\text{ ml}$ Öl.

(1)

Im Sachzusammenhang ist die Rechnung $0{,}985^{12} \approx 83{,}4\,\%$ die Lösung einer Aufgabe.

Formulieren Sie dazu eine passende Aufgabenstellung und erläutern Sie, wie die Rechnung angesetzt wird. [3 Punkte]

(2)

(3)

Die Flaschen werden nacheinander geöffnet und ihre Füllmenge wird kontrolliert.

(4)

Ein Supermarkt bekommt regelmäßig stets gleich viele Flaschen geliefert. Im Mittel enthalten dabei mehr als 780 Flaschen mindestens $600\text{ ml}$ Öl.

(5)

Ein Supermarkt wird mit 150 Kartons beliefert.

b) Es soll angenommen werden, dass die Füllmenge der Flaschen normalverteilt ist mit Erwartungswert $600{,}5\text{ ml}$ und Standardabweichung $0{,}23\text{ ml}$.

(1)

Es wird zufällig eine Flasche gewählt. Ermitteln Sie jeweils die Wahrscheinlichkeit der folgenden Ereignisse: [3 Punkte]

(2)

Eine Füllmenge kann nicht negativ sein. Die zur Modellierung genutzte Normalverteilung ist jedoch auch für negative reelle Zahlen definiert und liefert dort ausschließlich positive Werte.

Begründen Sie, dass die Normalverteilung trotzdem sinnvoll verwendet werden kann. [2 Punkte]

(3)

Der Betrieb will erreichen, dass seltener eine Flasche weniger als $600\text{ ml}$ Öl enthält. Für die dafür nötige Umstellung der Abfüllmaschine liegen zwei Vorschläge vor:

Vorschlag 1: Die eingestellte Füllmenge von $600{,}5\text{ ml}$ wird heraufgesetzt.

Vorschlag 2: Die Präzision, mit der die eingestellte Füllmenge von $600{,}5\text{ ml}$ eingehalten wird, wird gesteigert.

Der Erwartungswert der Zufallsgröße ist immer die eingestellte Füllmenge.

Die Abbildungen 1 und 2 zeigen jeweils den Graphen der Dichtefunktion, welche die Füllmenge der Flaschen vor der Umstellung der Maschine beschreibt:

Skizzieren Sie in Abbildung 1 einen möglichen Dichtefunktionsgraphen nach Umsetzung von Vorschlag 1 und in Abbildung 2 einen passenden Graphen für Vorschlag 2.

Begründen Sie anhand Ihrer Skizzen für beide Vorschläge, dass das Ziel des Unternehmens erreicht wird. [6 Punkte]