Aufgabe B1 - Integralrechnung · Abitur NRW Mathematik LK · Haupttermin · GTR 2023

Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln

Aufgabenstellung:

Gegeben ist die Funktion $f$ mit der Gleichung

$$f(x) = (x^3 - 5)\cdot \mathrm{e}^x,\ x \in \mathbb{R}\text{.}$$

Abbildung 1 zeigt den Graphen von $f$.

Im weiteren Verlauf darf ohne Nachweis benutzt werden: $f'(x) = (x^3 + 3x^2 - 5)\cdot \mathrm{e}^x$.

b) (1)

Zur Ermittlung einer Stammfunktion $F$ von $f$ kann man den folgenden Ansatz verwenden:

$$F(x) = (a \cdot x^3 + b \cdot x^2 + c \cdot x + d) \cdot e^x; \quad a, b, c, d \in \mathbb{R}, \, a \neq 0.$$Berechnen Sie $F'(x)$ und ermitteln Sie, indem Sie diesen Term mit $f(x)$ vergleichen, ein lineares Gleichungssystem für die Koeffizienten $a, b, c, d$.

[Die Koeffizienten müssen nicht berechnet werden.]

Eine Stammfunktion $F$ der Funktion $f$ ist gegeben durch:

$$F(x) = (x^3 - 3x^2 + 6x - 11) \cdot e^x.$$

(2)

Bestimmen Sie rechnerisch den Flächeninhalt des Gebiets, das im 4. Quadranten vom Graphen von $f$ und den Koordinatenachsen begrenzt wird.

FE

(3)

Die Gleichung $\int_{0}^{z} f(x) \, dx = 0$ besitzt für $z \neq 0$ ausschließlich die Lösung $z \approx 2{,}271$.

Interpretieren Sie diese Lösung geometrisch.

(4)

Im 3. Quadranten schließen die Koordinatenachsen und der Graph von $f$ für $x \le 0$ eine nach links unbegrenzt ausgedehnte Fläche ein, deren Inhalt endlich ist.

Ermitteln Sie den Inhalt dieser Fläche.

FE

(5)

Die Punkte $O(0|0)$, $N(-5|0)$, $Y(0|-5)$ legen ein Dreieck $ONY$ fest. Der Graph von $f$ verläuft zum Teil im Inneren des Dreiecks und umschließt zusammen mit der Seite $\overline{NY}$ eine Fläche $A$.

(i)

Zeichnen Sie die Fläche $A$ in Abbildung 2 ein.

[Hinweis: Abbildung 2 entspricht Abbildung 1.]

(ii)

Bestimmen Sie den Inhalt der Fläche $A$.

FE