Aufgabe A2 - a · Abitur NRW Mathematik LK · Haupttermin · CAS 2023

Gegeben ist die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit der Gleichung $f(x) = \mathrm{e}^{\left(x^2\right)}$.

Betrachtet werden die Funktionen $f$ und $g$ mit

$$f(x)=\frac{1}{2}\cdot x^3-3\cdot x^2+\frac{3}{2}\cdot x+5,\; x\in\mathbb{R},$$

und

$$g(x)=-3\cdot x+5,\; x\in\mathbb{R}.$$

(1)

Berechnen Sie diejenigen Stellen, an denen sich die Graphen von $f$ und $g$ schneiden bzw. gemeinsame Punkte haben.

$x_1 =$

$x_2 =$

(2)

Einer dieser gemeinsamen Punkte ist $P(3\mid f(3))$.

Zeigen Sie: Der Graph von $g$ berührt den Graphen von $f$ im Punkt $P$ als Tangente.

$f'(3) =$