Aufgabe B3 - Längen, Winkel und Körper · Abitur NRW Mathematik GK · Nachtermin · GTR · Weiterbildungsko 2023

Aufgabenstellung

Abbildung 1 zeigt einen Pyramidenstumpf. Das Koordinatensystem ist dabei so festgelegt, dass die quadratische Grundfläche $A_1A_2A_3A_4$ in der $x_1$-$x_2$-Ebene liegt, während sich die quadratische Deckfläche in einer zur $x_1$-$x_2$-Ebene parallelen Ebene in der Höhe 10 befindet. Die $x_3$-Achse geht zudem durch die Schnittpunkte der Diagonalen beider Quadrate. Die Seitenlänge der Deckfläche beträgt 4.

Gegeben sind $A_1(4|4|0)$, $A_2(-4|4|0)$, $A_4(4|-4|0)$ und $D(2|2|10)$.

Abbildung 2 zeigt einen Körper, der entsteht, wenn man die Deckfläche um $90^\circ$ um die $x_3$-Achse dreht und die Grundfläche $A_1A_2A_3A_4$ dabei unverändert lässt. In Abbildung 3 ist dieser Körper von oben zu sehen. Für den in den Abbildungen 2 und 3 abgebildeten Körper, auf den sich die folgenden Aufgaben beziehen, gilt:

$$A_1(4|4|0),\; A_2(-4|4|0),\; A_4(4|-4|0),$$

$$B_1(-2|2|10),\; B_2(-2|-2|10),\; B_3(2|-2|10),\; B_4(2|2|10).$$

a)

(1) Geben Sie die Koordinaten von $A_3$ an.

(2) Berechnen Sie das Volumen dieses Pyramidenstumpfes.

VE

(3) Berechnen Sie den Flächeninhalt $F_S$ der quadratischen Fläche $S$, in der der Pyramidenstumpf von der zur $x_1\text{-}x_2$-Ebene parallelen Ebene in der Höhe 5 geschnitten wird.

[Zur Kontrolle: $F_S = 36\text{ FE}$]

FE

b)

(2) Berechnen Sie die Größe des Winkels, den die Kanten $\overline{A_1B_1}$ und $\overline{A_1A_2}$ einschließen.

°

(3) Der Punkt $H_1(1|3|5)$ liegt auf der Kante $\overline{A_1B_1}$ in der Höhe 5. Ebenso liegen $H_2(-3|1|5)$, $H_3$ und $H_4$ in der Höhe 5 auf den Kanten $\overline{A_2B_2}$, $\overline{A_3B_3}$ bzw. $\overline{A_4B_4}$. Diese vier Punkte bilden das Quadrat $H_1H_2H_3H_4$, dessen Flächeninhalt kleiner ist als $F_S$.

Bestimmen Sie rechnerisch, um wie viel Prozent der Flächeninhalt abgenommen hat.

%

c)

(2) Für die Geraden $A_3B_3$ und $A_4B_4$ liegt die folgende, nur teilweise dokumentierte Rechnung vor:

(I) $\vec{OP} = \begin{pmatrix} -4 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \\ 10 \end{pmatrix}, \quad \vec{OQ} = \begin{pmatrix} 4 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 6 \\ 10 \end{pmatrix}, \quad r, s \in \mathbb{R}$.

(II) $\vec{PQ} = \vec{OQ} - \vec{OP} = \begin{pmatrix} 8 - 6r - 2s \\ -2r + 6s \\ -10r + 10s \end{pmatrix}$.

(III) $\begin{cases} \vec{PQ} \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \\ 10 \end{pmatrix} = 0 \\ \vec{PQ} \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 6 \\ 10 \end{pmatrix} = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} \begin{pmatrix} 8 - 6r - 2s \\ -2r + 6s \\ -10r + 10s \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \\ 10 \end{pmatrix} = 0 \\ \begin{pmatrix} 8 - 6r - 2s \\ -2r + 6s \\ -10r + 10s \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 6 \\ 10 \end{pmatrix} = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} r = \dots \\ s = \dots \end{cases}$

(IV) Einsetzen von $r = \dots$ und $s = \dots$ in $\vec{PQ}$ liefert den Vektor $\frac{1}{3} \begin{pmatrix} 4 \\ 8 \\ -4 \end{pmatrix}$.

(V) $\left| \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 4 \\ 8 \\ -4 \end{pmatrix} \right| = \frac{4\cdot\sqrt{6}}{3} \approx 3{,}27$.

(i) Bestimmen Sie $r$ und $s$ mithilfe von (I), (II) und (III).

(ii) Interpretieren Sie den Wert $\frac{4\cdot\sqrt{6}}{3}$ geometrisch.